Üslü ve Köklü İfadeler Soru Çözümü

İki terimli çarpım yapalım:

$$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$

$$= 3 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 2 \cdot 2 = 3 + \sqrt{6} - 4 = \sqrt{6} - 1$$

Bu nedenle doğru cevap $\sqrt{6} - 1$'dir.

Bileşik faiz formülü: $A = P(1 + r)^t$, burada $A$ son para, $P$ anapara, $r$ faiz oranı, $t$ yıl sayısıdır. $P = 10000$, $r = 0.10$, $A = 14641$:

$$10000 \times (1.1)^t = 14641$$

İki tarafı 10000'e bölelim: $$(1.1)^t = 1.4641$$

$1.1^4 = 1.4641$ olduğu bilinir veya logaritma ile çözülebilir: $t = \frac{\log 1.4641}{\log 1.1} = 4$. Doğru cevap 4 yıldır. Bu soru, üslü denklemlerin finansal modellemedeki uygulamasını içerir.

Bu ifadeyi iki kare farkı formülü veya açılım yaparak çözebiliriz.

Yöntem 1: Açılım yapalım:

$$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$

$$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$$

Fark: $(8 + 2\sqrt{15}) - (8 - 2\sqrt{15}) = 4\sqrt{15}$.

Yöntem 2: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ formülünü kullanalım:

$a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{3}$ için $4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{15}$.

Bu nedenle doğru cevap $4\sqrt{15}$'dir.