Trigonometrik Denklemler Soru Çözümü

Denklemi çözmek için $\tan x = t$ diyelim, so $\cot x = \frac{1}{t}$. Denklem $t - \frac{1}{t} = 1$ olur. Her iki tarafı $t$ ile çarpınca $t^2 - 1 = t$, yani $t^2 - t - 1 = 0$. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı $\Delta = 1 + 4 = 5$, so kökler $t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Yani $\tan x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ veya $\tan x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Her biri için genel çözüm $x = \arctan\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + k\pi$ veya $x = \arctan\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ şeklindedir.

Denklemin her iki tarafının karesini alalım: $(\sqrt{3}\sin x - \cos x)^2 = 1^2$

$3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğundan, denklemi düzenleyelim: $3\sin^2 x + \cos^2 x = 1 + 2\sqrt{3}\sin x \cos x$

Alternatif olarak, $3\sin^2 x + \cos^2 x = 2\sin^2 x + 1$ olduğunu kullanarak: $2\sin^2 x + 1 - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = 1$ yani $2\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

$2\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$

Buradan $\sin x = 0$ veya $\sin x = \sqrt{3}\cos x$ yani $\tan x = \sqrt{3}$

$\sin x = 0$ ise $x = k\pi$, $[0, 2\pi)$ aralığında $x=0, \pi$

$\tan x = \sqrt{3}$ ise $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, $[0, 2\pi)$ aralığında $x=\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

Bu çözümleri orijinal denklemde kontrol edelim:

• $x=0$: $\sqrt{3}\cdot 0 - 1 = -1 \neq 1$ yalancı kök.
• $x=\pi$: $\sqrt{3}\cdot 0 - (-1) = 1$ doğru.
• $x=\frac{\pi}{3}$: $\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ doğru.
• $x=\frac{4\pi}{3}$: $\sqrt{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1 \neq 1$ yalancı kök.

O halde çözüm kümesi $\{\frac{\pi}{3}, \pi\}$ olur.

$\cos(\theta) = 0$ ise $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Bu durumda $\pi \sin x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Her iki tarafı $\pi$'ye bölersek: $\sin x = \frac{1}{2} + k$.

$\sin x$ değeri $[-1,1]$ aralığında olduğundan, $\frac{1}{2} + k$ bu aralıkta olmalıdır.

$k=0$ için $\sin x = \frac{1}{2}$, $k=-1$ için $\sin x = -\frac{1}{2}$. Diğer $k$ değerleri aralık dışıdır.

$[0, 2\pi]$ aralığında: $\sin x = \frac{1}{2}$ için $x = \frac{\pi}{6}$ ve $x = \frac{5\pi}{6}$; $\sin x = -\frac{1}{2}$ için $x = \frac{7\pi}{6}$ ve $x = \frac{11\pi}{6}$.

Köklerin toplamı: $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} = 4\pi$.