İkinci Dereceden Eşitsizlikler Soru Çözümü

Verilen grafik bilgisine göre, $f(x)=a(x+3)(x-2)$ olarak yazılabilir ($a>0$). $f(x)$'in kökleri $x=-3$ ve $x=2$'dir ve başkatsayı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur. İşaret tablosu incelendiğinde, $f(x) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ olur.

Şimdi $f(x-2) \ge 0$ eşitsizliğini çözmek için, $f(x)$'deki $x$ yerine $x-2$ yazarak kaydırma yapılır. $f(x-2)=a((x-2)+3)((x-2)-2)=a(x+1)(x-4)$ olur. Bu durumda $f(x-2)$'nin kökleri $x=-1$ ve $x=4$'tür ve başkatsayı hala $a>0$ olduğundan kollar yukarı doğru kalır.

$f(x-2) \ge 0$ eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulursa: Kökler $x=-1$ ve $x=4$'tür; $a>0$ olduğu için parabol (-) bölgeden başlar, köklerde 0 olur ve sonra (+) olur. Bu nedenle, $f(x-2) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$ değil, $[-1, 4]$ olmalıdır (çünkü kollar yukarı doğru olduğundan, 0 ve üstü değerler için parabolün alt kısmı değil, üst kısmı dikkate alınır; aslında $a(x+1)(x-4) \ge 0$ için, $a>0$ ve kökler arasında işaret negatif, dışarıda pozitif olur, ama $\ge 0$ olduğu için kökleri de içeren pozitif bölgeler istenir; yani $x \le -1$ veya $x \ge 4$ gibi görünebilir, ancak bu yanıltıcıdır: $f(x)$ için $ \ge 0$ çözüm kümesi $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ idi, $f(x-2)$ için $x$ yerine $x-2$ koyup $f(t) \ge 0$ çözüm kümesi $t \le -3$ veya $t \ge 2$ olur, buradan $x-2 \le -3 \Rightarrow x \le -1$ ve $x-2 \ge 2 \Rightarrow x \ge 4$ bulunur, yani $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$ olur, ama bu seçeneklerde A şıkkı bu, ancak doğru şık D gibi görünüyor? Hata kontrol edilmeli. Aslında, $f(x)=a(x+3)(x-2)$ ile $f(x) \ge 0$ çözüm kümesi: $a>0$ için parabolün kolları yukarı, kökler -3 ve 2, bu durumda $f(x) \ge 0$ için $x \le -3$ veya $x \ge 2$ olur (çünkü pozitif bölgeler). $f(x-2) \ge 0$ için $x-2 \le -3$ veya $x-2 \ge 2$ olmalı, yani $x \le -1$ veya $x \ge 4$. Bu A şıkkıdır. Ancak soruda ve seçeneklerde D şıkkı $[-1,4]$ verilmiş. Bu bir çelişki. Doğru cevap A olmalı. Ama ben soruyu tasarlarken, grafik bilgisiyle $f(x)$ için çözüm $[-3,2]$ gibi düşünülmüş olabilir? Hayır, $a>0$ ve kökler verildiğinde, $f(x) \ge 0$ çözüm kümesi köklerin dışıdır. Yani A doğru. Ancak seçenekleri kontrol edersek, A: $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$, D: $[-1,4]$. $f(x)$ için $ \ge 0$ çözüm kümesi dış bölge ise, $f(x-2)$ için de dış bölge olmalı, yani A. Ama soruda 'başkatsayısı $a>0$' denmiş, bu durumda kollar yukarı, $f(x) \ge 0$ için $x \le -3$ veya $x \ge 2$. Evet, bu mantıklı. O halde doğru cevap A olarak ayarlamalıyım. Ancak initial design'da D'yi doğru yapmışım, bu hatalı. Düzeltelim: correct_answer_index 0 olmalı. Açıklama da buna göre düzenlenmeli.

İşaret tablosu oluşturalım: Kökler $ x=1 $ (çift katlı) ve $ x=-3 $ (tek katlı).

Çift katlı kök $ x=1 $'de işaret değişmez. Tablo:

• $ x < -3 $ için: örneğin $ x=-4 $, $ (-5)^2 \cdot (-1) = -25 < 0 $
• $ -3 < x < 1 $ için: örneğin $ x=0 $, $ (-1)^2 \cdot 3 = 3 > 0 $
• $ x > 1 $ için: örneğin $ x=2 $, $ (1)^2 \cdot 5 = 5 > 0 $

Eşitsizlik $ \le 0 $ olduğundan, negatif veya sıfır olan aralıkları alırız: $ x \le -3 $ (çünkü $ x=-3 $'te sıfır) ve $ x=1 $ (çift katlı kökte sıfır, işaret değişmediği için sadece bu nokta). Bu nedenle çözüm kümesi $ (-\infty, -3] \cup \{1\} $ olur.

Parabolün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı yönlüdür. $f(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ fonksiyonunun kökleri $x = -2$ ve $x = 2$'dir. İşaret tablosu incelendiğinde, $f(x) > 0$ eşitsizliği köklerin dışındaki bölgelerde sağlanır, yani $x < -2$ veya $x > 2$. Çözüm kümesi $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ olur. Köklerde $f(x) = 0$ olduğundan aralıklara dahil edilmez.