Binom ve Olasılık Soru Çözümü

Baştan 4. terim için $r+1=4 \Rightarrow r=3$, katsayı $\binom{n}{3}$. Baştan 5. terim için $r=4$, katsayı $\binom{n}{4}$. Eşitlik: $\binom{n}{3} = \binom{n}{4}$. Binom katsayılarının simetrisinden veya hesaplayarak: $\frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!}$. Sadeleştirilirse: $\frac{1}{n-3} = \frac{1}{4} \Rightarrow n-3=4 \Rightarrow n=7$. Baştan 6. terim için $r+1=6 \Rightarrow r=5$, katsayı $\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = 21$.

Tüm durumlar: 5 topun sıralanış sayısı, kırmızılar özdeş ve maviler özdeş olduğu için tekrarlı permütasyonla hesaplanır: $$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$$ İstenen durum: kırmızı toplar yan yana. Kırmızıları bir blok olarak düşünürsek, blok + 2 mavi top toplam 3 nesne olur. Bu nesnelerin sıralanış sayısı, maviler özdeş olduğundan: $$\frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$$ Olasılık: $$\frac{3}{10}$$

Multinom teoreminde, $(px + qy + rz)^n$ açılımında $x^a y^b z^c$ teriminin katsayısı $\frac{n!}{a!b!c!} \cdot p^a \cdot q^b \cdot r^c$ dir. Burada $n=4$, $a=2$, $b=1$, $c=1$, $p=2$, $q=-1$, $r=3$. So katsayı $\frac{4!}{2!1!1!} \cdot 2^2 \cdot (-1)^1 \cdot 3^1 = 12 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot 3 = -144$.