İçeriğe geç
OptikOptik.
YKS · Matematik

Parabol Soru Çözümü

Parabol, YKS Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$y = -3x^2 + 12$ parabolü ile $x$-ekseni arasında kalan bölgeye, tabanı $x$-ekseni üzerinde ve üst kenarı parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor. Bu dikdörtgenin alanı maksimum olduğunda, genişliği ve yükseklik nedir?

  1. A

    Genişlik $= 2$, Yükseklik $= 6$

  2. Genişlik $= \frac{4}{\sqrt{3}}$, Yükseklik $= 8$

    Doğru cevap
  3. C

    Genişlik $= \sqrt{3}$, Yükseklik $= 9$

  4. D

    Genişlik $= 2\sqrt{2}$, Yükseklik $= 4$

  5. E

    Genişlik $= 3$, Yükseklik $= 3$

Çözüm

Dikdörtgen simetrik olduğundan, genişlik $2x$ ve yükseklik $12 - 3x^2$ olur. Alan fonksiyonu $A(x) = 2x(12 - 3x^2) = 24x - 6x^3$. Türev: $A'(x) = 24 - 18x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Genişlik $= 2x = \frac{4}{\sqrt{3}}$, yükseklik $= 12 - 3 \cdot \frac{4}{3} = 12 - 4 = 8$.

Soru 2

$f(x) = 2x^2 - 8x + k$ parabolünün tepe noktasının apsisi 2'dir ve köklerin kareleri toplamı 10 ise, $k$ kaçtır?

  1. A

    $4$

  2. B

    $5$

  3. $6$

    Doğru cevap
  4. D

    $7$

  5. E

    $8$

Çözüm

Tepe noktasının apsisi $x = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{4} = 2$ verilmiştir, bu doğrulanır. Kökler toplamı $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{8}{2} = 4$ tür. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 16 - 2 \cdot \frac{k}{2} = 16 - k = 10$. Buradan $k = 6$ bulunur.

Soru 3

Grafiği verilen bir parabolün tepe noktası T(2, -3) ve y eksenini (0,5) noktasında kesmektedir. Bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A

    $y = x^2 - 4x + 5$

  2. $y = 2x^2 - 8x + 5$

    Doğru cevap
  3. C

    $y = 2x^2 + 8x + 5$

  4. D

    $y = 2x^2 - 8x - 3$

  5. E

    $y = x^2 + 4x + 5$

Çözüm

Tepe noktası T(2, -3) olduğu için parabol denklemini tepe noktası formunda yazabiliriz: $y = a(x-2)^2 - 3$. Y eksenini (0,5) noktasında kestiği için x=0, y=5 değerlerini yerine koyarız: $5 = a(0-2)^2 - 3 = 4a - 3$. Buradan $4a = 8$, yani $a = 2$ bulunur. Denklemi genişletirsek: $y = 2(x-2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$. Doğru cevap B şıkkıdır.

Parabol konusunu uygulamada çöz

Optik'te YKS Matematik dersinde parabol konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Matematik — diğer konular

Tümünü gör