Trigonometri Soru Çözümü

Birim çemberde, yarıçap $r=1$ olduğu için:

• Daire diliminin alanı: $$\text{Dilim Alanı} = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$
• Üçgenin alanı: Üçgen, merkez ve $\theta = \frac{\pi}{3}$ açısının kolları üzerindeki iki nokta ile oluşur. Bu üçgenin alanı, birim çemberde $\frac{1}{2} \sin\theta$ formülüyle bulunur: $$\text{Üçgen Alanı} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Fark: $$\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$$ Bu, şık A'ya karşılık gelir.

Adım 1: Açıyı bilinen açıların toplamı şeklinde yazalım: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

Adım 2: Tanjant toplam formülünü uygulayalım:

$$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$$

Adım 3: $a=45^\circ$, $b=30^\circ$ değerlerini yerine koyalım. $\tan{45^\circ} = 1$, $\tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$$\tan{75^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Adım 4: Pay ve paydayı 3 ile genişletelim:

$$\tan{75^\circ} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$$

Adım 5: Paydayı rasyonelleştirelim:

$$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$$

Not: Bu değer, trigonometrik değerler tablosunda $\tan{75^\circ}$ için standart bir sonuçtur.

Denklemi çözmek için her iki tarafın sinüsünü alalım: $\sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(2x))$.

Sol taraf: $x$. Sağ taraf: $\sin(\arccos(2x)) = \sqrt{1 - (2x)^2} = \sqrt{1 - 4x^2}$ (çünkü $\arccos(2x) \in [0, \pi]$ ve bu aralıkta sinüs negatif değil, bu nedenle karekök pozitif alınır).

O halde denklem: $x = \sqrt{1 - 4x^2}$. Her iki tarafın karesini alırsak: $x^2 = 1 - 4x^2 \implies 5x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{5} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Tanım kümelerini kontrol edelim: $\arcsin(x)$ için $x \in [-1, 1]$, $\arccos(2x)$ için $2x \in [-1, 1]$ yani $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Ayrıca, $\arcsin(x) \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ve $\arccos(2x) \in [0, \pi]$, eşit olmaları için her iki taraf da aynı aralıkta olmalı. $x = -\frac{1}{\sqrt{5}} \approx -0.447$ için $\arcsin(-0.447) \approx -0.463$ (negatif), $\arccos(-0.894) \approx 2.678$ (pozitif), eşit değil. $x = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$ için $\arcsin(0.447) \approx 0.463$ ve $\arccos(0.894) \approx 0.463$, eşittir. Bu nedenle geçerli çözüm $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$'tir.