Limit ve Süreklilik, YKS Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ limitinin değeri kaçtır?
$0$
$1$
$2$
$4$
Tanımsız
Çözüm
Bu limit $0/0$ belirsizliği içerir, çünkü $x=2$ iken pay ve payda sıfır olur. Çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır:
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$
$x \neq 2$ için $x-2$ sadeleşir, geriye $x+2$ kalır. Böylece limit:
$$\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$$
Bu nedenle doğru cevap $4$'tür.
$f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 5x + 6}$ fonksiyonunu süreksiz yapan $x$ değerleri kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
$\{2\}$
$\{3\}$
$\{2, 3\}$
$\{1, 2, 3\}$
$\emptyset$
Çözüm
Rasyonel bir fonksiyon, paydası sıfır olduğu noktalarda süreksizdir. Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x-2)(x-3)=0$, so $x=2$ veya $x=3$. Bu değerler için payda sıfır olur, bu yüzden fonksiyon bu noktalarda tanımsızdır ve süreksizdir. Payın bu noktalarda sıfır olup olmaması süreksizliği etkilemez, sadece süreksizlik türünü belirler. Dolayısıyla süreksizlik kümesi $\{2, 3\}$'dir.
$f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x-2}$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki limiti aşağıdakilerden hangisidir?
$4$
$-4$
$0$
Yoktur
Sonsuzdur
Çözüm
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ olduğundan, mutlak değer için kritik nokta $x=2$'dir. $x<2$ için $|x^2 - 4| = 4 - x^2$ ve $x>2$ için $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ olur. Böylece:
$$ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{4 - x^2}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} -(x+2) = -4 $$
$$ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4 $$
Soldan ve sağdan limitler farklı olduğu için $\lim_{x \to 2} f(x)$ yoktur.
Optik'te YKS Matematik dersinde limit ve süreklilik konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.
