Türev Alma Kuralları Soru Çözümü

Teğetin eğimi, fonksiyonun türevinin belirli noktadaki değeridir. Temel türev kurallarını uygulayarak:

$$f'(x) = 3x^2 - 3$$

$x=1$ için:

$$f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0$$

Bu nedenle teğetin eğimi 0'dır. Diğer şıklar türev hesaplama hatalarını (örn., sabit terimi türevde unutmak veya işaret yanlışlığı) temsil eder.

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ fonksiyonunu zincir kuralıyla türevleyelim.

İç fonksiyon: $u = x^2 + 1$, dış fonksiyon: $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$.

Zincir kuralı: $f'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$.

$$f'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}$$

$$u'(x) = 2x$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Önce $f^{-1}(x)$'i bulalım: $y = \sqrt{x+1} \Rightarrow y^2 = x+1 \Rightarrow x = y^2 - 1$, dolayısıyla $f^{-1}(x) = x^2 - 1$ ( $x \ge 0$ için). O halde $g(x) = x^2 - 1$ ve $g'(x) = 2x$, yani $g'(2)=4$.

Alternatif olarak ters fonksiyon türev kuralını kullanabiliriz: $g'(2) = (f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}$. $f^{-1}(2) = 2^2 - 1 = 3$, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, $f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$, dolayısıyla $g'(2) = \frac{1}{1/4} = 4$.