Türev Uygulamaları Soru Çözümü

ODT'yi kullanalım: $a=1$, $b=4$, $f(1)=\sqrt{1}=1$, $f(4)=\sqrt{4}=2$.

Ortalama değer: $$\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}.$$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ olduğundan, $f'(c)=\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3}$ denklemi kurulur: $$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2\sqrt{c}=3 \Rightarrow \sqrt{c}=\frac{3}{2} \Rightarrow c=\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.$$

$(1,4)$ aralığında $\frac{9}{4}=2.25$ olduğu için geçerlidir. Diğer şıklar bu denklemi sağlamaz.

Konumları belirleyelim. Başlangıçta, yaya P $(-50,0)$ noktasında, yaya Q $(0,0)$ noktasında olsun. $t$ saniye sonra, yaya P'nin konumu $(-50 + 3t, 0)$, yaya Q'nun konumu $(0, 4t)$ olur. Aralarındaki mesafe:

$$d(t) = \sqrt{((-50 + 3t) - 0)^2 + (0 - 4t)^2} = \sqrt{(3t - 50)^2 + (4t)^2}$$

$[d(t)]^2$ fonksiyonunu inceleyelim:

$$D(t) = (3t - 50)^2 + (4t)^2 = 2500 - 300t + 9t^2 + 16t^2 = 2500 - 300t + 25t^2$$

Türev alıp sıfıra eşitleyelim:

$$D'(t) = 50t - 300 = 0 \implies t = 6 \text{ s}$$

İkinci türev $D''(t) = 50 > 0$ olduğundan minimum var. Minimum mesafe:

$$d(6) = \sqrt{2500 - 300 \cdot 6 + 25 \cdot 36} = \sqrt{2500 - 1800 + 900} = \sqrt{1600} = 40 \text{ m}$$

Doğru cevap 40 m'dir.

$k(x) = f(x^3 - 3x)$ fonksiyonunun türevini zincir kuralı ile alalım: $$k'(x) = (3x^2 - 3) \cdot f'(x^3 - 3x)$$

Ekstremum noktaları için $k'(x)=0$ olmalıdır: $$(3x^2 - 3) \cdot f'(x^3 - 3x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3=0 \text{ veya } f'(x^3 - 3x)=0$$

İlk durum: $3x^2 - 3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.

İkinci durum: $f'(t)=0$ olduğu $t$ değerleri verilene göre $t=-1$ ve $t=2$. Yani $x^3 - 3x = -1$ veya $x^3 - 3x = 2$.

Denklemleri çözelim:

• $x^3 - 3x + 1 = 0$: Bu kübik denklemin gerçel köklerini bulmak gerekir. $x=-2, -0.5, 1.5$ gibi değerler denenebilir, ama tam sayı kökü yoktur. Yaklaşık olarak bir kök vardır, ancak soruda sayı isteniyor, bu nedenle kök sayısını bulmalıyız. $p(x)=x^3-3x+1$ fonksiyonu türevi $3x^2-3=0$ dan $x=\pm 1$, yerel maksimum ve minimumları var, ve $p(x)$ polinom olduğu için üç gerçel kökü olabilir. Aslında, $p(-2)=-1$, $p(-1)=3$, $p(0)=1$, $p(1)=-1$, $p(2)=3$ gibi değerlerle işaret değişimi: $p(x)$ $(-\infty, \text{ara değer})$ aralığında bir kök, başka bir aralıkta kökler. Detaylı inceleme ile üç gerçel kök olduğu görülür: yaklaşık $x\approx -1.879, 0.347, 1.532$. Yani $x^3-3x=-1$ denkleminin 3 gerçel kökü var.
• $x^3 - 3x - 2 = 0$: $x=2$ bir köktür ($8-6-2=0$). Polinom bölmesi ile $(x-2)(x^2+2x+1)= (x-2)(x+1)^2$, yani kökler $x=2$ (tek katlı) ve $x=-1$ (çift katlı). Toplamda 3 kök, ama $x=-1$ çift katlı olduğu için türev işareti değiştirmez, ekstremum yapmayabilir.

Tüm kritik noktalar: $x=\pm 1$ (ilk durumdan), ve $x^3-3x=-1$ den 3 kök, $x^3-3x=2$ den 2 kök (ama $x=-1$ ve $x=2$, bu köklerden $x=-1$ ve $x=2$ zaten listelenmiş mi? $x=\pm 1$ ilk durumda var, $x=2$ ikinci denklemden geliyor). Toplam farklı noktaları sayalım: $x=1$ ve $x=-1$ ilk durumda, $x^3-3x=-1$ den 3 kök diyelim $a,b,c$, $x^3-3x=2$ den $x=2$ ve $x=-1$ (çift katlı). $x=-1$ zaten var, $x=2$ yeni. Yani tüm farklı noktalar: $x=-1, 1, 2, a,b,c$ (a,b,c -1,1,2'den farklı varsayalım). Toplam 6 nokta. Ancak soru yerel minimum sayısını soruyor, sadece ekstremum adayları değil. $k'(x)$ işaret tablosu yaparak hangilerinin minimum olduğunu bulmalıyız. Bu karmaşık olabilir, ama soru tasarımında basitleştirelim: $f'(t)$ sadece $t=-1,2$'de sıfır ve işaret değiştiriyor, $f'(t)$ işareti $t<-1$ için pozitif, $-12$ için pozitif varsayalım. O zaman $k'(x)=(3x^2-3)f'(x^3-3x)$. $3x^2-3$ işareti: $x<-1$ veya $x>1$ için pozitif, $-1