Diziler Soru Çözümü

$a_7 = a_4 \cdot r^3$ formülünü kullanarak, $160 = 20 \cdot r^3$, yani $r^3 = 8$ ve $r = 2$. Ardından, $a_{10} = a_7 \cdot r^3 = 160 \cdot 8 = 1280$.

Dizinin terimleri $a_1, a_2, a_3, \dots$ olsun. $a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12$ ve $a_2 \cdot a_5 = (a_1 \cdot r) \cdot (a_1 \cdot r^4) = a_1^2 \cdot r^5 = 192$. İlk denklemden $a_1 = \frac{12}{r^2}$. İkinci denklemde yerine koyarsak: $\left(\frac{12}{r^2}\right)^2 \cdot r^5 = \frac{144}{r^4} \cdot r^5 = 144 \cdot r = 192$, yani $r = \frac{192}{144} = \frac{4}{3}$. Sonra, $a_1 = \frac{12}{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{12}{\frac{16}{9}} = 12 \cdot \frac{9}{16} = \frac{108}{16} = \frac{27}{4}$.

İlk terim $a$ ve ortak çarpan $r$ olsun. O zaman:

$$ a_2 = a r = 2^{3k-5} \quad \text{(1)} $$

$$ a_4 = a r^3 = 2^{7k+1} \quad \text{(2)} $$

$$ a_3 = a r^2 = 8 = 2^3 \quad \text{(3)} $$

(2) yi (1) e bölerek: $r^2 = \frac{2^{7k+1}}{2^{3k-5}} = 2^{4k+6}$.

(3) den $a r^2 = 2^3$, ve $r^2 = 2^{4k+6}$ olduğundan, $a = \frac{2^3}{r^2} = \frac{2^3}{2^{4k+6}} = 2^{-4k-3}$.

(1) den: $a r = 2^{3k-5}$.

$a = 2^{-4k-3}$ ve $r^2 = 2^{4k+6}$, so $r = 2^{2k+3}$ (pozitif kabul ediyoruz).

Then $a r = 2^{-4k-3} \cdot 2^{2k+3} = 2^{-2k} = 2^{3k-5}$.

Thus, exponents: $-2k = 3k-5 \Rightarrow 5k=5 \Rightarrow k=1$.

Now $a_1 = a = 2^{-4k-3} = 2^{-4 \cdot 1 - 3} = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Doğru cevap: $\boxed{\frac{1}{128}}$.