Kümeler ve Kartezyen Çarpım Soru Çözümü

Önce $A$ ve $B$ kümelerini listeleyelim:

• $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ (çünkü $-2 \le x < 3$ tam sayılar)
• $B = \{1, 2, 3, 4\}$

$A \times B$'nin eleman sayısı: $|A \times B| = 5 \times 4 = 20$.

Şimdi $x + y > 2$ koşulunu sağlamayan noktaları sayıp, toplamdan çıkaralım. Koşulu sağlamayanlar için $x + y \le 2$:

• $( -2, 1 )$: $ -2+1= -1 \le 2$
• $( -2, 2 )$: $ -2+2=0 \le 2$
• $( -2, 3 )$: $ -2+3=1 \le 2$
• $( -2, 4 )$: $ -2+4=2 \le 2$
• $( -1, 1 )$: $ -1+1=0 \le 2$
• $( -1, 2 )$: $ -1+2=1 \le 2$
• $( -1, 3 )$: $ -1+3=2 \le 2$
• $( 0, 1 )$: $0+1=1 \le 2$
• $( 0, 2 )$: $0+2=2 \le 2$
• $( 1, 1 )$: $1+1=2 \le 2$

Toplam 10 nokta $x+y \le 2$ koşulunu sağlar. O halde $x+y > 2$ koşulunu sağlayan nokta sayısı: $20 - 10 = 15$.

Bu nedenle cevap $15$'tir.

Önce $A$ ve $B$ kümelerini listeleyelim: $A = \{1,5,9\}$, $B = \{3,5,7,9\}$. O halde $A \cap B = \{5,9\}$ ve eleman sayısı $2$'dir.

$(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesini inceleyelim. Herhangi bir sıralı ikili $(x,y)$ bu kesişimde ise, $(x,y) \in A \times B$ ve $(x,y) \in B \times A$ olmalıdır. Bu durumda $x \in A$ ve $y \in B$ (ilk koşuldan), aynı zamanda $x \in B$ ve $y \in A$ (ikinci koşuldan) olmalıdır. Yani $x \in A \cap B$ ve $y \in A \cap B$. O halde $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)$.

$A \cap B$'nin eleman sayısı $2$ olduğundan, kartezyen çarpımın eleman sayısı $2 \times 2 = 4$'tür. Dolayısıyla cevap 4 olur.

Sıralı ikililerin eşitliği prensibine göre, birinci bileşenler eşit olmalı: $x^2 = 9$, ve ikinci bileşenler eşit olmalı: $y = x+1$. $x^2=9$ denkleminin çözümü $x=3$ veya $x=-3$'tür. Eğer $x=3$ ise $y=3+1=4$, so $x \cdot y = 3 \cdot 4 = 12$. Eğer $x=-3$ ise $y=-3+1=-2$, so $x \cdot y = (-3) \cdot (-2) = 6$. Bu iki değerin toplamı $12 + 6 = 18$'dir.