Dönüşüm Geometrisi Soru Çözümü

Orijinal çemberin denklemi $(x-1)^2 + y^2 = 4$. $180^\circ$ döndürüldüğünde, merkezi $(-1,0)$ olur ve denklemi $(x+1)^2 + y^2 = 4$. İki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık $d = 2$'dir. Yarıçaplar $r=2$ olduğundan, kesişim alanı formülü kullanılabilir: İki eş çember için kesişim alanı $A = 2r^2 \arccos\left(\frac{d}{2r}\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4r^2 - d^2}$. Burada $d=2$, $r=2$: $\frac{d}{2r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, so $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Then $A = 2 \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{2}{2} \sqrt{16-4} = \frac{8\pi}{3} - 1 \cdot \sqrt{12} = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$. Doğru cevap $\boxed{\frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}}$.

İlk adım: Dönme. A(1,2) etrafında saat yönünde $90^\circ$ döndürme, saat yönünün tersine $-90^\circ$ döndürmeye eşdeğerdir. B noktasının A'ya göre bağıl koordinatları: $(4-1, 2-2) = (3,0)$. Dönme formülü: saat yönünün tersine $\theta$ için $(x', y') = (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$. $\theta = -90^\circ$ için $\cos(-90^\circ)=0$, $\sin(-90^\circ)=-1$. O halde:

$$x' = 3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) = 0$$

$$y' = 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -3$$

Bu, A'ya göre yeni bağıl koordinatlardır. Mutlak koordinatlar: A(1,2) eklenerek $(1+0, 2+(-3)) = (1,-1)$. İkinci adım: $x$-eksenine göre yansıtma. $(x,y)$ noktasının $x$-eksenine göre yansıması $(x, -y)$ dir. $(1,-1)$ noktasının yansıması: $(1, -(-1)) = (1,1)$. Sonuç olarak B noktasının son görüntüsü $(1,1)$ olur.

Orijinal kare: $|x| \le 1$, $|y| \le 1$. $45^\circ$ döndürüldüğünde, döndürülmüş karenin denklemi $|x| + |y| \le \sqrt{2}$ olur. Kesişim kümesi bu iki koşulu sağlar. Alanı hesaplamak için simetriden yararlanılır. Birinci bölgede, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 1$, $y \le 1$, ve $x+y \le \sqrt{2}$. $\sqrt{2} \approx 1.414$ olduğundan, $x+y = \sqrt{2}$ doğrusu kareyi keser. Alan, karenin alanından köşelerde kesişmeyen üçgenlerin alanları çıkarılarak bulunabilir. Karenin alanı $4$'tür. Her köşede, kenar uzunluğu $2-\sqrt{2}$ olan ikizkenar dik üçgenler vardır. Bir üçgenin alanı $\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(6-4\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}$. Dört köşe için toplam $12-8\sqrt{2}$. Kesişim alanı $4 - (12-8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1)$. Doğru cevap $\boxed{8(\sqrt{2}-1)}$.