Karmaşık Sayılar Soru Çözümü

Öncelikle $z$ sayısını sadeleştirelim. $z = \frac{1+i}{1-i}$. Pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparak: $$z = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$$. Sonuç olarak $z = i$ karmaşık sayısı elde edilir. Bu sayının gerçel kısmı $0$, sanal kısmı $1$'dir. Karmaşık düzlemde bu, $(0, 1)$ noktasına karşılık gelir, yani sanal eksen üzerinde ve pozitif taraftadır. Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır.

$z = x + yi$ ve $\overline{z} = x - yi$ olsun. Denklemi yerine koyalım:

$$2(x + yi) + 3(x - yi) = 5 + i$$

$$2x + 2yi + 3x - 3yi = 5 + i$$

$$5x - yi = 5 + i$$

Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim:

Gerçel kısım: $5x = 5 \Rightarrow x = 1$

Sanal kısım: $-y = 1 \Rightarrow y = -1$

Bu durumda $z = 1 - i$ olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Kökler verildiğinden, polinomu çarpanlarına ayırarak veya $a+b+c+d = P(1)$ olduğunu kullanarak bulabiliriz. $P(1) = (1 - (2+i))(1 - (2-i))(1 - (1+2i))(1 - (1-2i)) = (-1-i)(-1+i)(-2i)(2i)$. Hesaplayalım: $(-1-i)(-1+i) = | -1-i |^2 = 2$ ve $(-2i)(2i) = -4i^2 = 4$, so $P(1) = 2 \times 4 = 8$. Alternatif olarak, polinomu genişletsek de aynı sonuç çıkar: $P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 2x + 5) = x^4 - 6x^3 + 18x^2 - 30x + 25$, so $a=-6, b=18, c=-30, d=25$ and $a+b+c+d = 8$.