Fonksiyonlar Soru Çözümü

$f(x)$ ve $g(x)$ ters fonksiyonlar olduğu için grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir. $f(x) > g(x)$ eşitsizliğini çözmek için: $$2x - 4 > \frac{x+4}{2}$$ Her iki tarafı 2 ile çarpalım: $$4x - 8 > x + 4 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > 4.$$ Dolayısıyla çözüm kümesi $(4, \infty)$ olur. Ayrıca, $f(x)=g(x)$ olduğu nokta $x=4$'tür ve $x>4$ için $f(x) > g(x)$'tir.

f(x) in grafiği yukarı doğru açık parabol olduğundan minimum değer tepe noktasının ordinatıdır, yani -1. y=k doğrusu ile grafiğin kesişim sayısı: eğer k minimum değerden büyük ise iki noktada kesişir, yani 2 farklı kök. k minimum değere eşit ise tepe noktasında teğet olur, çift kök (1 kök). k minimum değerden küçük ise kesişmez, kök yok. Dolayısıyla tam 2 farklı kök için k > -1 olmalıdır.

The average rate of change on $[a, b]$ is $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

For $f(x) = \sin(x)$ on $[0, \frac{\pi}{2}]$:

$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$b - a = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

So, average rate of change $= \frac{1 - 0}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}$.

Therefore, the correct answer is $\frac{2}{\pi}$.