Polinomlar Soru Çözümü

Verilen eşitlikte $x=1$ yazarsak:

$$ P(1) + 2P(0) = 3\cdot 1^2 - 4\cdot 1 + 5 = 3 - 4 + 5 = 4 $$

$x=0$ yazarsak:

$$ P(0) + 2P(1) = 3\cdot 0^2 - 4\cdot 0 + 5 = 5 $$

İki bilinmeyenli denklem sistemi elde ederiz:

• $P(1) + 2P(0) = 4$
• $2P(1) + P(0) = 5$ (ıkinci denklemi düzenlersek)

İkinci denklemden $P(0) = 5 - 2P(1)$. Bunu ilk denklemde yerine koyalım:

$$ P(1) + 2(5 - 2P(1)) = 4 \implies P(1) + 10 - 4P(1) = 4 \implies -3P(1) = -6 \implies P(1) = 2 $$

Bu nedenle doğru cevap $2$'dir.

Sol tarafı açalım: $$(x+p)(x^2+qx+r) = x^3 + qx^2 + rx + px^2 + pqx + pr = x^3 + (q+p)x^2 + (r+pq)x + pr$$ Polinom eşitliğinden katsayıları karşılaştıralım:

• $q+p=5$ ...(1)
• $r+pq=7$ ...(2)
• $pr=2$ ...(3)

(3) denkleminin tam sayı çözümlerini deneyelim. $pr=2$ için olası $(p,r)$ çiftleri: $(1,2), (2,1), (-1,-2), (-2,-1)$. Bunları (1) ve (2)'de test edelim:

• $p=1, r=2$: (1)'den $q=4$, (2)'den $r+pq=2+4=6 \neq 7$ (sağlamaz).
• $p=2, r=1$: (1)'den $q=3$, (2)'den $r+pq=1+6=7$ (sağlar).
• $p=-1, r=-2$: (1)'den $q=6$, (2)'den $r+pq=-2-6=-8 \neq 7$ (sağlamaz).
• $p=-2, r=-1$: (1)'den $q=7$, (2)'den $r+pq=-1-14=-15 \neq 7$ (sağlamaz).

Bu nedenle $p=2$, $q=3$, $r=1$ olup $p+q+r=2+3+1=6$.

Katsayılar toplamı $P(1)$ demektir. $x=1$ yazalım:

$$ P(1) = (1^2 - 5\cdot 1 + 4)Q(1) + 2\cdot 1 + 3 = (1-5+4)Q(1) + 2 + 3 = 0 \cdot Q(1) + 5 = 5 $$

Çünkü $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ olduğundan $x=1$ için sıfır olur. Dolayısıyla pratik yol, bölen polinomun $x=1$ için sıfır olması nedeniyle kalanı direkt hesaplamaktır.