Analitik Geometri: Nokta ve Doğru Soru Çözümü

Doğru üzerindeki nokta $(x, 4-2x)$ şeklindedir. Uzaklıklar toplamı: $|x| + |4-2x| = 6$. Mutlak değer denklemini çözelim.

• Durum 1: $x \geq 0$ ve $4-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$. O zaman $x + 4-2x = 6 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2$, ancak $x \geq 0$ koşulunu sağlamaz, çözüm yok.
• Durum 2: $x \geq 0$ ve $4-2x < 0 \Rightarrow x > 2$. O zaman $x + 2x-4 = 6 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$, $x > 2$ koşulunu sağlar.
• Durum 3: $x < 0$ ve $4-2x \geq 0$ (her zaman, çünkü $x<0$ iken $4-2x>4>0$). O zaman $-x + 4-2x = 6 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$, $x<0$ koşulunu sağlar.
• Durum 4: $x < 0$ ve $4-2x < 0$, ancak $x<0$ için $4-2x>4$, asla negatif olamaz, bu durum yok.

İki çözüm vardır: $x = \frac{10}{3}$ ve $x = -\frac{2}{3}$. Buna karşılık gelen noktalar: $\left(\frac{10}{3}, -\frac{8}{3}\right)$ ve $\left(-\frac{2}{3}, \frac{16}{3}\right)$. Dolayısıyla $2$ nokta bulunur.

Önce $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım: $$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3.$$ Paralel doğrular eğimleri eşit olduğundan aranan doğrunun eğimi de $m = 3$'tür. $C(-1, 1)$ noktasından geçen doğru için nokta-eğim formülünü kullanalım: $y - 1 = 3(x - (-1))$ yani $y - 1 = 3(x + 1)$. Düzenlersek $y = 3x + 4$ elde edilir.

The tangent of the angle $\theta$ between two lines with slopes $m_1$ and $m_2$ is given by $$\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$. Here, $m_1 = 2$ and $m_2 = -3$. So, $$\tan\theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2 \cdot (-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1 | = 1$$. Therefore, the correct answer is $1$.