Geometri: Çokgenler ve Dörtgenler Soru Çözümü

Önce, $\triangle ABE$ ve $\triangle CDE$ benzerdir, çünkü $AB \parallel CD$. Alanlar oranı:

$$ \frac{[ABE]}{[CDE]} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2 = \left( \frac{6}{9} \right)^2 = \frac{4}{9} $$

$[ABE] = 8$ olduğundan, $[CDE] = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18$.

Yamukta, köşegenlerin oluşturduğu diğer üçgenlerin alanları eşittir: $[ADE] = [BCE] = x$ diyelim. Alan bağıntısına göre:

$$ [ABE] \cdot [CDE] = [ADE]^2 $$

$$ 8 \cdot 18 = x^2 \implies 144 = x^2 \implies x = 12 $$

Toplam alan: $[ABE] + [CDE] + [ADE] + [BCE] = 8 + 18 + 12 + 12 = 50$.

Koordinatlar: A(0,0), C(4,4), E(2,2\sqrt{3})$. Vektörler $\vec{AC} = (4,4)$ ve $\vec{AE} = (2,2\sqrt{3})$. Nokta çarpım: $4 \cdot 2 + 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8 + 8\sqrt{3} = 8(1+\sqrt{3})$. Büyüklükler: $|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $|\vec{AE}| = 4$. $\cos(\angle) = \frac{8(1+\sqrt{3})}{4\sqrt{2} \cdot 4} = \frac{8(1+\sqrt{3})}{16\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$. $\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} = \cos 15^\circ$. Bu nedenle, açı $15^\circ$ dir.

Paralelkenar kuralını uygulayalım: $$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$$ $$2(3^2 + b^2) = 7^2 + 5^2$$ $$2(9 + b^2) = 49 + 25$$ $$18 + 2b^2 = 74$$ $$2b^2 = 56$$ $$b^2 = 28$$ $$b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$ cm olarak bulunur.