$a$ ve $b$ tam sayılar olmak üzere, "$a^2 + b^2$ ifadesi çift ise, $a$ ve $b$'nin ikisi de çifttir" iddiasını ispatlamak için aşağıdaki adımlar izlenmiştir:
Adım 1: $a$ ve $b$'nin tek veya çift olma durumlarını inceleyelim.
Adım 2: $a$ tek, $b$ çift olsun: $a=2k+1$, $b=2m$ ($k,m$ tam sayı).
Adım 3: $a^2 + b^2 = (2k+1)^2 + (2m)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4m^2 = 4(k^2 + k + m^2) + 1$ olur, bu tektir.
Adım 4: $a$ çift, $b$ tek olsun: benzer şekilde ifade tektir.
Adım 5: $a$ ve $b$ ikisi de tek olsun: $a=2k+1$, $b=2m+1$.
Adım 6: $a^2 + b^2 = (2k+1)^2 + (2m+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4m^2 + 4m + 1 = 4(k^2 + k + m^2 + m) + 2$ olur, bu çifttir.
Adım 7: $a$ ve $b$ ikisi de çift olsun: $a=2k$, $b=2m$, o zaman $a^2 + b^2 = 4k^2 + 4m^2 = 4(k^2 + m^2)$, bu çifttir.
Adım 8: Adım 3,4,6,7'ye göre, $a^2 + b^2$ çift olması için sadece Adım 6 ve Adım 7'deki durumlar geçerlidir.
Adım 9: Adım 6'da $a$ ve $b$ tek iken ifade çift, Adım 7'de çift iken çift. Bu yüzden, $a^2 + b^2$ çift ise, $a$ ve $b$ ikisi de çift olmak zorunda değildir; biri tek biri çift olamaz, ama ikisi de tek olabilir.
Adım 10: O halde, orijinal iddia yanlıştır, çünkü $a$ ve $b$ tek iken de ifade çift olabilir.
Bu ispatta mantık hatası hangi adımda veya adımlarda yapılmıştır?
Çözüm
Doğru cevap D'dir. İspat, tüm adımları doğru bir şekilde inceler: $a$ ve $b$ tek iken $a^2 + b^2 = 4(k^2 + k + m^2 + m) + 2$, bu bir çift sayıdır (çünkü $4(...)$ çift ve $+2$ çift toplamı çift yapar). Adım 6 doğru. Adım 9 ve 10, bu sonuca dayanarak orijinal iddianın yanlış olduğunu söyler, ki bu doğrudur: Örneğin, $a=1$, $b=1$ için $1^2+1^2=2$ çift, ama $a$ ve $b$ tek. Dolayısıyla, "$a^2+b^2$ çift ise, $a$ ve $b$ ikisi de çifttir" iddiası yanlıştır. İspatta mantık hatası yoktur; sadece iddia çürütülmüştür. Seçenek D, Adım 9 ve 10'da hata olmadığını ve tüm adımların doğru olduğunu söylüyor, bu doğrudur. Diğer seçenekler yanlıştır: A yanlış (tüm durumlar incelenmiş), B yanlış (cebirsel işlem doğru), C yanlış (Adım 6 doğru, ifade çift), E yanlış (Adım 3 ve 4 doğru, ifade tek).
