Çarpanlara Ayırma Soru Çözümü

Önce ikinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım:

$$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$$

Eşitsizlik: $(x+3)(x-1)(x-4) \le 0$. Kökler: $x=-3$, $x=1$, $x=4$. İşaret tablosu oluşturalım:

• $x < -3$ için: tüm çarpanlar negatif, çarpım negatif ($<0$)
• $-3 < x < 1$ için: $(x+3) > 0$, $(x-1) < 0$, $(x-4) < 0$, çarpım pozitif ($>0$)
• $1 < x < 4$ için: $(x+3) > 0$, $(x-1) > 0$, $(x-4) < 0$, çarpım negatif ($<0$)
• $x > 4$ için: tüm çarpanlar pozitif, çarpım pozitif ($>0$)

Eşitsizlik $\le 0$ olduğundan, negatif veya sıfır olduğu aralıklar ve kökler dahil: $(-\infty, -3] \cup [1, 4]$.

$x^6 + y^6$ ifadesini $(x^2)^3 + (y^2)^3$ şeklinde yazarsak, küp toplamı özdeşliğini uygulayabiliriz: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Burada $a = x^2$ ve $b = y^2$ alınırsa, $(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2 y^2 + (y^2)^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2 y^2 + y^4)$ olur. Diğer seçenekler kontrol edildiğinde, B: $(x^3+y^3)^2 = x^6 + 2x^3 y^3 + y^6$, C: $x^6 - y^6$ için bir açılım, D: $(x^2+y^2)^3 = x^6 + 3x^4 y^2 + 3x^2 y^4 + y^6$, E: $(x^3+y^3)(x^3-y^3) = x^6 - y^6$. Hepsi farklı ifadeler verir.

İfadeyi çarpanlarına ayıralım:

$$P(n) = n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$$

Bu, üç ardışık tam sayının çarpımıdır. Ardışık tam sayılardan en az biri çifttir, dolayısıyla $P(n)$ her zaman $2$'ye bölünür. Ayrıca, üç ardışık tam sayıdan biri $3$'ün katıdır, bu yüzden $P(n)$ her zaman $3$'e bölünür. $2$ ve $3$ aralarında asal olduğundan, $P(n)$ her $n$ tam sayısı için $2 \times 3 = 6$'ya bölünür.

Diğer seçenekler her zaman geçerli değildir; örneğin $n=2$ için $P(2)=6$, $12$'ye veya $24$'e bölünmez.