İçeriğe geç
OptikOptik.
YKS · Matematik

Analitik Geometri: Çemberin Analitiği Soru Çözümü

Analitik Geometri: Çemberin Analitiği, YKS Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$M_1(0,0)$ ve $M_2(4,0)$ merkezli, yarıçapları sırasıyla $r_1=2$ ve $r_2=3$ olan iki çembere dıştan teğet olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Odakları $M_1$ ve $M_2$ noktaları olan bir hiperbol

    Doğru cevap
  2. B

    $M_1$ ve $M_2$'den geçen bir doğru

  3. C

    Merkezi $(2,0)$ olan bir çember

  4. D

    Odakları $M_1$ ve $M_2$ noktaları olan bir elips

  5. E

    $M_1M_2$ doğru parçasının orta dikmesi

Çözüm

Dıştan teğet çemberin merkezi $P(x,y)$ ve yarıçapı $r$ olsun. Teğetlik koşulları:
$$\sqrt{x^2 + y^2} = r+2$$
$$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = r+3$$
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım ve $r$'yi yok edelim. Karelerini alıp düzenlersek:
$$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{x^2 + y^2} = 1$$
Bu, odakları $M_1(0,0)$ ve $M_2(4,0)$ olan ve sabit farkı 1 olan bir hiperbol denklemidir. Genel ifade: $|PF_2 - PF_1| = 2a = 1$ olduğundan, hiperbolün tanımına uyar.

Soru 2

Merkezi $M(-1,4)$ olan çember x-eksenine teğettir. Bu çemberin standart denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A

    $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 16$

  2. B

    $(x+1)^2 + (y+4)^2 = 16$

  3. C

    $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 4$

  4. $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 16$

    Doğru cevap
  5. E

    $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 8$

Çözüm

Çember x-eksenine teğet olduğundan, merkezin x-eksenine olan uzaklığı yarıçapa eşittir. Merkez $M(-1,4)$ olduğuna göre, y-koordinatı 4'tür, bu nedenle x-eksenine uzaklık $|4| = 4$ birimdir. Dolayısıyla yarıçap $r=4$ ve $r^2=16$. Standart denklem: $$(x-(-1))^2 + (y-4)^2 = 16$$ yani $$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 16$$ olur.

Soru 3

Çapının uç noktaları $A(2,-1)$ ve $B(6,3)$ olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $(x-4)^2 + (y-1)^2 = 8$

    Doğru cevap
  2. B

    $(x-4)^2 + (y-1)^2 = 16$

  3. C

    $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 8$

  4. D

    $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16$

  5. E

    $(x-4)^2 + (y-1)^2 = 4$

Çözüm

Çemberin merkezi, çapın uç noktalarının orta noktasıdır: $$ M \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{-1+3}{2} \right) = (4,1) $$ Yarıçap, çap uzunluğunun yarısıdır: $$ r = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(6-2)^2 + (3-(-1))^2}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt{2} $$ Böylece $r^2 = 8$ olur. Çemberin standart denklemi: $$ (x-4)^2 + (y-1)^2 = 8 $$

Analitik Geometri: Çemberin Analitiği konusunu uygulamada çöz

Optik'te YKS Matematik dersinde analitik geometri: çemberin analitiği konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Matematik — diğer konular

Tümünü gör