İkinci Dereceden Denklemler Soru Çözümü

Kökler $\alpha$ ve $\alpha + d$ olsun, burada $d$ ortak farktır. Kökler toplamı $\alpha + (\alpha+d) = 2\alpha + d = -p$, kökler çarpımı $\alpha(\alpha+d) = q$. Diskriminant $\Delta = p^2 - 4q$ olup, hesaplarsak:

$$\Delta = (2\alpha+d)^2 - 4\alpha(\alpha+d) = 4\alpha^2+4\alpha d+d^2 - 4\alpha^2 - 4\alpha d = d^2$$

Bu nedenle $\Delta = d^2$ kesinlikle doğrudur. Diğer şıklar genelde doğru değildir; örneğin $b^2 = 4ac$ yalnızca diskriminantın sıfır olduğu özel durumda geçerlidir.

Denklemin köklerini bulalım: $a=2$, $b=-4$, $c=5$. Diskriminant: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24$$ Kökler: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{-24}}{4} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{6}}{4} = 1 \pm i\frac{\sqrt{6}}{2}$$ Köklerin sanal kısımları: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ve $-\frac{\sqrt{6}}{2}$. Çarpımları: $$\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$ Bu nedenle doğru cevap $-\frac{3}{2}$ olur.

$a=2$ için denklem $x^2 - 3x + 2 = 0$ olur. Kök-katsayı bağıntılarından $x_1 + x_2 = 3$ ve $x_1 x_2 = 2$ dir. Böylece, $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 3^2 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$$ bulunur.