Belirli İntegral ve Alan Soru Çözümü

Öncelikle, $f(x) = x^3 - 4x$ fonksiyonu tektir, çünkü $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -f(x)$. Simetrik aralıkta belirli integrali: $$\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = 0$$ ancak bu, işaretli alandır; gerçek alan için mutlak değer alınmalıdır. Fonksiyonun kökleri: $x^3 - 4x = x(x-2)(x+2) = 0$ dan $x = -2, 0, 2$. $[-2,2]$ aralığında fonksiyon işaret değiştirir. Simetri nedeniyle, $[0,2]$ aralığındaki alanın mutlak değeri, $[-2,0]$ aralığındakine eşittir. O halde, toplam alan = $2 \cdot \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right|$. Hesaplayalım: $$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{4} - 2 \cdot 4 \right) - 0 = 4 - 8 = -4$$ Mutlak değeri $4$, dolayısıyla toplam alan = $2 \cdot 4 = 8$ birimkare.

$f$ çift fonksiyon olduğu için $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 12$, buradan $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6$ bulunur, ancak buna gerek yoktur. $g$ tek fonksiyon olduğu için simetrik aralıkta integrali sıfırdır: $\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0$. Dolayısıyla, $$\int_{-2}^{2} [2f(x) - 3g(x)] \, dx = 2\int_{-2}^{2} f(x) \, dx - 3\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 2 \cdot 12 - 3 \cdot 0 = 24$$ $\int_{0}^{2} g(x) \, dx = 5$ bilgisi, simetrik integrali hesaplamak için kullanılmaz, çünkü $g$ tek fonksiyonun $\int_{-2}^{2} g(x) \, dx$ değeri her zaman $0$'dır.

Değişken değiştirme yöntemiyle çözelim. $u = \sin x$ olsun. O zaman $du = \cos x dx$. Sınırları dönüştürelim: $x = 0$ için $u = \sin 0 = 0$ ve $x = \frac{\pi}{2}$ için $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$. İntegral yeniden yazılırsa:

$$\int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$$

Bu, doğrudan $u$-dönüşümü ve basit integral alma ile bulunur. Doğru cevap $\frac{1}{4}$'tür.