Katı Cisimler (Uzay Geometri) Soru Çözümü

Genel olarak, koni yarıçapı $R$, yüksekliği $H$. Silindirin yarıçapı $r$, yüksekliği $h$. Benzerlikten: $h = H \left(1 - \frac{r}{R}\right)$. Silindir hacmi: $V_s = \pi r^2 h = \pi r^2 H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = \pi H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right)$. Türev alıp maksimize edersek: $\frac{dV_s}{dr} = \pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right) = 0 \Rightarrow r = \frac{2R}{3}$ (sıfır hariç). Bu durumda $h = H \left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{H}{3}$. Maksimum silindir hacmi: $$V_s_{\text{max}} = \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 \left(\frac{H}{3}\right) = \frac{4\pi R^2 H}{27}$$ Koni hacmi: $V_k = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Oran: $$\frac{V_s_{\text{max}}}{V_k} = \frac{\frac{4\pi R^2 H}{27}}{\frac{1}{3} \pi R^2 H} = \frac{4}{27} \times 3 = \frac{4}{9}$$

Kürelerin hacim oranı verildiğinden, yarıçapların oranını bulabiliriz: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27} \Rightarrow \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{8}{27} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$$. Küçük kürenin yarıçapı $r_1 = 2$ cm olduğuna göre, $r_2 = 3$ cm olur. Dıştan teğet küreler için merkezler arası uzaklık: $$d = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$$ cm.

Hacimler eşit olsun: $V$. Küp için kenar uzunluğu $a$, küre için yarıçap $r_k$, silindir için taban yarıçapı $r_s$ ve yükseklik $h=r_s$ alalım.

1. Küp: $V = a^3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{V}$. Yüzey alanı: $S_{\text{küp}} = 6a^2 = 6V^{2/3}$.
2. Küre: $V = \frac{4}{3}\pi r_k^3 \Rightarrow r_k = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$. Yüzey alanı: $S_{\text{küre}} = 4\pi r_k^2 = 4\pi \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{2/3} = (36\pi V^2)^{1/3} \approx 4.84V^{2/3}$.
3. Silindir: $V = \pi r_s^2 h = \pi r_s^3 \Rightarrow r_s = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$. Yüzey alanı: $S_{\text{silindir}} = 2\pi r_s^2 + 2\pi r_s h = 2\pi r_s^2 + 2\pi r_s^2 = 4\pi r_s^2 = 4\pi \left(\frac{V}{\pi}\right)^{2/3} = (16\pi V^2)^{1/3} \approx 6.16V^{2/3}$.

Sayısal karşılaştırma: $S_{\text{küp}} = 6V^{2/3}$, $S_{\text{silindir}} \approx 6.16V^{2/3}$, $S_{\text{küre}} \approx 4.84V^{2/3}$. Burada $S_{\text{küp}} > S_{\text{silindir}} > S_{\text{küre}}$ değil, $S_{\text{silindir}} > S_{\text{küp}} > S_{\text{küre}}$ gibi görünebilir, ancak sabit $V$ için hesaplama yaparsak: $V=1$ alırsak, $S_{\text{küp}}=6$, $S_{\text{küre}}=4.84$, $S_{\text{silindir}}=6.16$ gerçekten $S_{\text{silindir}} > S_{\text{küp}} > S_{\text{küre}}$ verir. Fakat soruda küp için yüzey alanı hesaplamasında $6V^{2/3}$ ifadesi, $V=1$ için 6'dır; küre için $(36\pi)^{1/3} \approx (113.1)^{1/3} \approx 4.84$; silindir için $(16\pi)^{1/3} \approx (50.27)^{1/3} \approx 3.69$ olmalıydı? Kontrol edelim: Silindir için $S = 4\pi r_s^2$, $r_s = (V/\pi)^{1/3}$, yani $S = 4\pi (V/\pi)^{2/3} = 4\pi^{1/3} V^{2/3} \approx 4 \times 1.464 \times V^{2/3} = 5.856 V^{2/3}$. $V=1$ için $S_{\text{silindir}} \approx 5.856$, $S_{\text{küp}}=6$, $S_{\text{küre}} \approx 4.84$. Böylece $S_{\text{küp}} > S_{\text{silindir}} > S_{\text{küre}}$ olur. Hesaplama hatasını düzelterek: $4\pi^{1/3} \approx 5.856$, $6 > 5.856 > 4.84$. Doğru sıralama A şıkkıdır.