Yaş Problemleri Soru Çözümü

Kızın yaşına $10a + b$, babanın yaşına $10b + a$ diyelim, $a$ ve $b$ rakamlardır. 5 yıl sonra: baba yaşı $10b + a + 5$, kız yaşı $10a + b + 5$. Verilen: $10b + a + 5 = 2(10a + b + 5)$. Denklemi çözelim:

$10b + a + 5 = 20a + 2b + 10$

$10b - 2b + a - 20a = 10 - 5$

$8b - 19a = 5$

$19a - 8b = -5$

$a=1$ denersek: $19 \times 1 - 8b = -5 \Rightarrow 19 - 8b = -5 \Rightarrow 8b = 24 \Rightarrow b=3$. Kontrol: Kız $13$, baba $31$, 5 yıl sonra baba $36$, kız $18$, ve $36 = 2 \times 18$. Yaşlar toplamı: $13 + 31 = 44$.

Büyük arkadaşın yaşına $x$, küçük arkadaşın yaşına $y$ diyelim. Verilenlere göre:

Yaş farkı: $x - y = 12 \implies x = y + 12$

8 yıl önce: $(x-8)/(y-8) = 5/2 \implies 2(x-8) = 5(y-8) \implies 2x-16=5y-40 \implies 2x-5y=-24$

$x = y+12$ yerine yazalım: $2(y+12) - 5y = -24 \implies 2y+24-5y=-24 \implies -3y = -48 \implies y=16$

O halde $x = 16+12 = 28$

Yaşları toplamı: $x+y = 28+16 = 44$

Bugünkü yaşları toplamı 44'tür.

Ali'nin yaşı $a$ olsun. Verilenlere göre $a$ sayısı 4'e bölündüğünde 1 kalanını veriyor, yani $a = 4k + 1$ formundadır, burada $k$ bir tam sayıdır. Ayrıca $10 < a < 15$ olduğu verilmiştir. Bu aralıktaki sayıları kontrol edelim: $10$ için $10 = 4 \times 2 + 2$, kalan 2; $11$ için $11 = 4 \times 2 + 3$, kalan 3; $12$ için $12 = 4 \times 3 + 0$, kalan 0; $13$ için $13 = 4 \times 3 + 1$, kalan 1; $14$ için $14 = 4 \times 3 + 2$, kalan 2. Sadece $13$ sayısı $4k + 1$ formundadır ve kalan 1'dir. Bu nedenle doğru cevap 13'tür.