Soru 1
Bir kutu oyuncak, 5'erli ve 6'şarlı paketlere ayrıldığında, her seferinde sırasıyla 1 ve 2 oyuncak artıyor. Oyuncak sayısı 80 ile 100 arasında olduğuna göre, oyuncak sayısı kaçtır?
- Doğru cevap
$86$
- B
$92$
- C
$77$
- D
$98$
- E
$104$
Çözüm
Oyuncak sayısına $N$ diyelim. Soruda verilenlere göre: $N$ sayısının 5 ile bölümünden kalan 1, 6 ile bölümünden kalan 2'dir. Yani: $$N = 5a + 1 \quad \text{ve} \quad N = 6b + 2, \quad a, b \in \mathbb{Z}^+$$
$N$'yi ortak bir formda ifade etmek için, $N - 1$'in 5 ile tam bölünebildiğini ve $N - 2$'nin 6 ile tam bölünebildiğini biliyoruz. $N = 5k + 1$ yazıp 6 ile bölümünden kalan 2 olacak şekilde $k$'yı bulalım.
$N = 5k + 1$ olsun. 6 ile bölümünden kalan 2 olması için: $$5k + 1 \equiv 2 \pmod{6} \Rightarrow 5k \equiv 1 \pmod{6}$$
5'in mod 6'daki tersi 5'tir (çünkü $5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{6}$), o halde: $$k \equiv 5 \pmod{6} \Rightarrow k = 6t + 5$$
Bu durumda: $$N = 5(6t + 5) + 1 = 30t + 25 + 1 = 30t + 26, \quad t \in \mathbb{Z}^+$$
$80 < N < 100$ aralığında $N$ değerini bulalım:
- $t = 1$ için $N = 30 \cdot 1 + 26 = 56$ (aralık dışında)
- $t = 2$ için $N = 30 \cdot 2 + 26 = 86$ (aralık içinde)
- $t = 3$ için $N = 30 \cdot 3 + 26 = 116$ (aralık dışında)
Bu nedenle, $N = 86$'dır. Doğru cevap A şıkkıdır.