Rasyonel Sayılar Soru Çözümü

Bu tür kesirlerde pay ve payda arasındaki fark sabittir (1), ve pay ve payda büyüdükçe kesirin değeri 1'e yaklaşır, yani artar. Örneğin, $\frac{2023}{2024} = 1 - \frac{1}{2024}$, $\frac{2024}{2025} = 1 - \frac{1}{2025}$, vb. $1 - \frac{1}{n}$ formundaki sayılarda $n$ arttıkça kesrin değeri artar, çünkü $\frac{1}{n}$ azalır. Burada $n$ paydadır: 2024, 2025, 2026, 2027, 2028. $\frac{1}{2024} > \frac{1}{2025} > \frac{1}{2026} > \frac{1}{2027} > \frac{1}{2028}$, dolayısıyla $1 - \frac{1}{2024} < 1 - \frac{1}{2025} < 1 - \frac{1}{2026} < 1 - \frac{1}{2027} < 1 - \frac{1}{2028}$. Yani $\frac{2023}{2024} < \frac{2024}{2025} < \frac{2025}{2026} < \frac{2026}{2027} < \frac{2027}{2028}$. Bu, A şıkkında verilmiştir. Hızlı sıralama için pay-payda farkı sabit olduğundan, pay ve payda büyüdükçe kesir büyür kuralını uygulayabiliriz.

Merdivenli kesir sonsuz olduğu için ifadeyi $x = 2 + \frac{1}{x}$ şeklinde yazabiliriz.

$$x = 2 + \frac{1}{x} \implies x - 2 = \frac{1}{x} \implies x^2 - 2x = 1 \implies x^2 - 2x - 1 = 0$$

Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı: $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Kesir pozitif bir değer verdiğinden $x = 1 + \sqrt{2}$ olmalıdır.

Orta nokta, iki sayının ortalaması alınarak bulunur: $$ \frac{ \frac{1}{5} + \frac{3}{5} }{2} = \frac{ \frac{4}{5} }{2} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$. Bu nedenle Z noktası $ \frac{2}{5} $'tır. Bu soru, rasyonel sayılarda dört işlem ve ortalama hesaplama becerisini uygular.