Üslü Sayılar Soru Çözümü

Denklemleri aynı tabana çevirelim. $9 = 3^{2}$ ve $27 = 3^{3}$ olduğunu kullanarak:

Birinci denklem: $3^{x} \cdot 9^{y} = 3^{x} \cdot (3^{2})^{y} = 3^{x} \cdot 3^{2y} = 3^{x+2y} = 27 = 3^{3}$, dolayısıyla $x+2y=3$.

İkinci denklem: $\frac{27^{x}}{3^{y}} = \frac{(3^{3})^{x}}{3^{y}} = \frac{3^{3x}}{3^{y}} = 3^{3x-y} = 9 = 3^{2}$, dolayısıyla $3x-y=2$.

Bu iki denklemi çözelim: $3x-y=2$ ifadesinden $y=3x-2$, birinci denklemde yerine koyarsak: $x+2(3x-2)=3 \Rightarrow x+6x-4=3 \Rightarrow 7x=7 \Rightarrow x=1$, sonra $y=3(1)-2=1$.

Böylece, $x \cdot y = 1 \cdot 1 = 1$ olur.

Üslü Sayıların Eşitliği Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler eşitse, üsleri de eşittir.

$2^{3x+1} = 2^{2x+5} \implies 3x + 1 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 - 1$

$x = 4$

Doğru cevap $\4$'tür.

$3^{x} = t$ dersek, $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$. Denklem $t^{2} - 4t + 3 = 0$ olur. Bu ikinci derece denklemin köklerini çözelim: $$t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$, yani $t = 3$ veya $t = 1$. Buradan $3^{x} = 3$ veya $3^{x} = 1$, yani $x = 1$ veya $x = 0$. Köklerin toplamı $1 + 0 = 1$.