Mutlak Değer Soru Çözümü

Mutlak değer içlerini sıfır yapan noktalar: $x=0$, $x=1$, ve $x=2$.

Sayı doğrusunu dört bölgeye ayıralım: $x < 0$, $0 \le x < 1$, $1 \le x < 2$, ve $x \ge 2$.

• $x < 0$ için: $|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1) = -x+1$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$. Toplam: $-x + (-x+1) + (-x+2) = -3x+3$.
• $0 \le x < 1$ için: $|x| = x$, $|x-1| = -x+1$, $|x-2| = -x+2$. Toplam: $x + (-x+1) + (-x+2) = -x+3$.
• $1 \le x < 2$ için: $|x| = x$, $|x-1| = x-1$, $|x-2| = -x+2$. Toplam: $x + (x-1) + (-x+2) = x+1$.
• $x \ge 2$ için: $|x| = x$, $|x-1| = x-1$, $|x-2| = x-2$. Toplam: $x + (x-1) + (x-2) = 3x-3$.

Bu nedenle doğru parçalı fonksiyon D şıkkındaki gibidir.

Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir değerdir: $|x-3| \geq 0$.

$|x-3| = m-1$ denkleminin çözümü olabilmesi için $m-1 \geq 0$ olmalıdır, yani $m \geq 1$.

Çözümün olmaması için ise tam tersi durum gerekir: $m-1 < 0 \Rightarrow m < 1$.

Bu durumda sağ taraf negatif olduğundan mutlak değer hiçbir zaman bu değere eşit olamaz (mutlak değer negatif olamaz).

Birinci çubuk için mutlak değer eşitsizliği: $|x_1 - 100| \leq 2$, ikinci çubuk için: $|x_2 - 80| \leq 1.5$. Toplam uzunluk $T = x_1 + x_2$ olduğundan, bu eşitsizlikler toplanabilir. Genel olarak, $|a| + |b| \geq |a+b|$ olduğu için, $|T - 180| = |(x_1 - 100) + (x_2 - 80)| \leq |x_1 - 100| + |x_2 - 80| \leq 2 + 1.5 = 3.5$. Dolayısıyla doğru eşitsizlik $|T - 180| \leq 3.5$'tır ve $T$ 176.5 cm ile 183.5 cm arasındadır.