Geometri: Açıortay, Kenarortay ve Benzerlik Soru Çözümü

Açıortay teoremine göre, $BD/DC = AB/AC = 10/15 = 2/3$. $BD = \frac{2}{2+3} \cdot BC = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8$ cm. $ABD$ üçgeninin alanı ile $ABC$ üçgeninin alanı aynı yüksekliğe sahip olduğundan (A'dan BC'ye inen yükseklik), alanlar oranı tabanlar oranına eşittir: $\frac{Alan(ABD)}{Alan(ABC)} = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Kenarortay teoremine göre, bir üçgende $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğu $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ formülü ile bulunur. Burada $a=BC=13$, $b=AC=12$, $c=AB=5$ birimdir. Hesaplayalım:

$$m_{BC} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 5^2 - 13^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot 25 - 169} = \frac{1}{2} \sqrt{288 + 50 - 169} = \frac{1}{2} \sqrt{169} = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5$$

Ayrıca, $5-12-13$ üçgeni bir dik üçgendir ve dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: $m_{BC} = \frac{13}{2} = 6.5$.

Her adımda üçgen sayısı 3 katına çıkar ve kenar uzunlukları yarıya iner. Başlangıçta kenar uzunluğu $L = 64$ cm olan 1 üçgen var. n. adımda üçgen sayısı $3^n$, her birinin kenar uzunluğu $L / 2^n$. Her üçgenin çevresi $3 \times kenar$. Toplam çevre: $3^n \times 3 \times 64 / 2^n = 3^{n+1} \times 64 / 2^n$. n=3 için: $3^4 \times 64 / 2^3 = 81 \times 64 / 8 = 81 \times 8 = 648$ cm.