Temel Kavramlar Soru Çözümü

Ardışık tam sayılar için toplam formülü: $$S = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)$$ Burada $a_1=7$, $d=1$, $S=150$ verilmiştir.

Yerine koyalım: $$150 = \frac{n}{2} \cdot (14 + n -1) = \frac{n}{2} \cdot (13+n)$$

İki tarafı 2 ile çarpalım: $n(13+n) = 300$, yani $n^2 + 13n - 300 = 0$.

İkinci dereceden denklemi çözelim: Diskriminant $\Delta = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 169 + 1200 = 1369$, $\sqrt{1369}=37$.

$n = \frac{-13 \pm 37}{2}$. Pozitif çözüm: $n = \frac{24}{2} = 12$.

Son terim: $a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (12-1) \cdot 1 = 7 + 11 = 18$.

Doğru cevap 18 yani şık D.

$2a \cdot b = 10$ olduğuna göre, $ab = 5$. $a$ ve $b$ aralarında asal olduğundan ve çarpımları $5$ olduğundan, olası durumlar: $(a, b) = (1, 5)$ veya $(5, 1)$. Ancak $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar, bu durumda $a + b = 1 + 5 = 6$ değil, çünkü $2a \cdot b = 2 \cdot a \cdot b = 10$ denklemini çözelim: $2ab = 10 \implies ab = 5$. Aralarında asal çiftler: $(1, 5)$ veya $(5, 1)$. $a + b = 1 + 5 = 6$ olabilir ama seçeneklerde var mı kontrol edelim. Seçenek A: 7. Hesaplayalım: Eğer $(a, b) = (1, 5)$ ise $2a \cdot b = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$, doğru, ve $a+b=6$, ama bu seçenek B. Seçenek A 7 ise, $(a, b) = (2, 2.5)$ gibi bir durum olur ama $b$ tam sayı değil, geçersiz. Doğru olan: $ab=5$ ve aralarında asal koşulunu sağlayan tam sayı çiftleri $(1,5)$ ve $(5,1)$. Her iki durumda da $a+b=6$, bu seçenek B. Ama soruda $2a \cdot b = 10$ ifadesi $2a$ ile $b$'nin çarpımı olarak yazılmış, yani $(2a) \cdot b = 10$. Bu durumda $2a \cdot b = 10 \implies 2ab = 10 \implies ab = 5$. Aralarında asal koşulu ile: $(a,b) = (1,5)$ veya $(5,1)$, her ikisinde de $a+b=6$. O halde doğru cevap B (index 1) olmalı. Ancak ben başlangıçta yanlış hesaplamışım: doğru cevap B, yani index 1. Düzeltiyorum: correct_answer_index 1 olmalı. Ama kontrol edeyim: Seçenekler: A=7, B=6, C=5, D=4, E=3. $a+b=6$ olduğundan, B doğru. Bu nedenle correct_answer_index 1.

$p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) = r$ olduğundan, $r$ asal sayıdır. Çarpanlardan biri $1$, diğeri $r$ olmalıdır, çünkü aksi halde $r$ asal olmaz. $p-q = 1$ ve $p+q = r$ olarak alınır ($p+q > p-q$ olduğu için). $p-q=1$ ise $p = q+1$'dir, yani $p$ ve $q$ ardışık asal sayılardır. Asal sayılar arasında sadece $2$ ve $3$ ardışıktır, bu nedenle $q=2, p=3$ olur. O halde $r = p+q = 3+2 = 5$'tir. $p+q+r = 3+2+5 = 10$ bulunur.