Geometri: Üçgende Alan ve Açı-Kenar Soru Çözümü

Önce $ABC$ dik üçgeninde Pisagor teoremi ile $|BC|$'yi bulalım:

$$|BC| = \sqrt{|AB|^2 + |AC|^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$$

Katlama işlemi $[BC]$ boyunca yapıldığı için $BC$ kenarı katlama eksenidir ve değişmez. Katlama sonucunda $A$ noktası $D$'ye gelir, bu da $A$ ile $D$'nin $BC$'ye göre simetrik olduğu anlamına gelir. Yani, $D$ noktası $A$'nın $BC$ doğrusuna göre yansımasıdır. Üçgende $A$'dan $BC$'ye inilen yükseklik ayağı $H$ olsun. $A$ ve $D$, $BC$'ye göre simetrik olduğundan, $\widehat{BDC} = \widehat{BAC}$ olmaz çünkü yansıma açıları korur ama $\widehat{BDC}$, $\triangle BDC$'nin iç açısıdır. $\triangle ABC$ ve $\triangle DBC$ katlama sonucu eş üçgenler olur. $A$ ile $D$ üst üste geldiğinden, $D$ noktası $A$'nın aynısıdır ve $\triangle ABC \cong \triangle DBC$ olur. Bu durumda, $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 90^{\circ}$ olmaz, çünkü $D$ noktası $A$'nın yansımasıdır ve $\widehat{BDC}$, $\triangle BDC$'nin $D$ köşesindeki açıdır. $A$ ve $D$ simetrik olduğundan, $\widehat{BDC}$ ile $\widehat{BAC}$ toplamı $180^{\circ}$ olur (çünkü $BC$'nin karşılıklı taraflarında kalırlar ve bir dörtgen oluştururlar). Aslında, $ABDC$ bir dörtgen olur ve $\widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180^{\circ}$ (karşılıklı açılar toplamı). $m(\widehat{BAC}) = 90^{\circ}$ olduğundan, $m(\widehat{BDC}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ bulunur. Ancak bu basit bir yaklaşım; soruda $A$ ile $D$ üst üste geliyor denmiş, bu da katlama sonucu $A$ ve $D$'nin aynı nokta olduğu anlamına gelir. O zaman $\widehat{BDC}$, $\triangle BDC$'de $D$ köşesindeki açıdır. $\triangle ABC$ katlandığında, $A$ noktası $D$'ye gelir ve $\triangle ABC \cong \triangle DBC$ olur. Yani, $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 90^{\circ}$ olur. Ama şıklarda $90^{\circ}$ yok. Bu yüzden farklı düşünmeliyiz: Katlama $[BC]$ boyunca yapıldığında, $A$ noktası $D$'ye gelir ve $D$, $A$'nın $BC$'ye göre simetriğidir. $ABDC$ bir dörtgen oluşturur ve bu dörtgende $\widehat{A}$ ve $\widehat{D}$ karşılıklı açılardır. Üçgen katlandığında, $\triangle ABC$ ve $\triangle DBC$ üst üste gelmez, çünkü $A$ ve $D$ farklı noktalardır. Aslında, katlama sonucu $A$ ve $D$ üst üste geliyorsa, bu $D$'nin $A$ ile çakıştığı anlamına gelir, o zaman $\widehat{BDC}$ tanımsız olur. Bu bir çelişki. Soruyu yeniden yorumlayalım: $ABC$ üçgeni $[BC]$ boyunca katlanıyor ve $A$ köşesi $D$ noktasına geliyor, yani $A$ katlanarak $D$'ye taşınıyor. Bu durumda, $D$ noktası $A$'nın $BC$'ye göre yansımasıdır. $ABDC$ bir dörtgen oluşur ve bu dörtgenin iç açıları toplamı $360^{\circ}$'dir. $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$, $\widehat{ABD}$ ve $\widehat{ACD}$ açılarını bulalım. $\triangle ABC \cong \triangle DBC$ olduğundan, $\widehat{ABD} = \widehat{ABC}$ ve $\widehat{ACD} = \widehat{ACB}$ değildir. Daha basit bir yaklaşım: Katlama sonucu $A$ ve $D$ simetrik olduğundan, $BD = BA = 8$ cm, $CD = CA = 15$ cm olur. $\triangle BDC$'de kenar uzunlukları: $BD=8$, $CD=15$, $BC=17$. Pisagor teoremine göre $8^2 + 15^2 = 64+225=289=17^2$, yani $BD^2 + CD^2 = BC^2$. Bu, $\triangle BDC$'nin de dik üçgen olduğunu ve $\widehat{BDC} = 90^{\circ}$ olduğunu gösterir. Ama şıklarda $90^{\circ}$ yok. O halde soruda bir hata var mı? Şıkları kontrol edelim: $120^{\circ}$, $135^{\circ}$, $150^{\circ}$, $160^{\circ}$, $180^{\circ}$. $90^{\circ}$ yok. Demek ki katlama $[BC]$ boyunca değil, belki $BC$'nin orta noktasından veya başka şekilde. Soruyu düzeltelim: $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^{\circ}$, $|AB| = 8$, $|AC| = 15$. Üçgen, $A$ köşesi $[BC]$'nin üzerindeki bir noktaya gelecek şekilde katlanıyor. Katlama sonucunda $A$ ile $D$ üst üste geliyor ve $D$ $[BC]$ üzerinde. O zaman $D$, $A$'nın $BC$'ye göre dik izdüşümü olur, yani $AD \perp BC$. $AD$ yüksekliktir. $\triangle ABC$'de alan: $\frac{8 \cdot 15}{2} = 60 = \frac{17 \cdot h}{2} \Rightarrow h = \frac{120}{17} \approx 7.06$. $D$ $[BC]$ üzerinde olduğundan, $\widehat{BDC}$ doğrusal açı olur, yani $180^{\circ}$. Ama bu şıklarda var. Ancak soruda "A ile D üst üste geliyor" denmiş, bu durumda $D$ $[BC]$ üzerinde olabilir. O zaman $\widehat{BDC} = 180^{\circ}$ olur. Doğru cevap E şıkkı. Ama bu çok basit. Daha zor bir soru için: Katlama $BC$ boyunca değil, $BC$'ye paralel bir doğru boyunca veya başka bir şekilde olabilir. Soruyu şu şekilde düzeltip çözebiliriz: $ABC$ üçgeni $[BC]$ kenarı boyunca katlanıyor ve $A$ köşesi $D$ noktasına geliyor, $A$ ve $D$ üst üste gelmiyor, sadece $A$ $D$'ye taşınıyor. O zaman $ABDC$ bir dörtgen olur ve $\widehat{BDC} = 90^{\circ}$ bulunur. Ama şıklarda yok. Bu yüzden, soruyu kurgularken hata yapmış olabilirim. Kullanıcının istediği katlama temasına uygun, çözülebilir bir soru üretmek için şöyle bir soru düşünelim: $ABC$ üçgeninde $|AB|=6$ cm, $|AC|=8$ cm, $m(\widehat{BAC})=60^{\circ}$ olsun. Bu üçgen $[BC]$ boyunca katlanarak $A$ köşesi $D$ noktasına getiriliyor. $A$ ve $D$ üst üste gelmiyor, sadece $A$ $D$'ye taşınıyor. $\widehat{BDC}$ açısı kaç derecedir? Kosinüs teoremi ile $|BC|=\sqrt{6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\cos60^{\circ}}=\sqrt{36+64-48}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. $BD=BA=6$, $CD=CA=8$. $\triangle BDC$'de kosinüs teoremi: $\cos(\widehat{BDC})=\frac{6^2+8^2-(2\sqrt{13})^2}{2\cdot6\cdot8}=\frac{36+64-52}{96}=\frac{48}{96}=0.5$, so $m(\widehat{BDC})=60^{\circ}$. Bu da şıklarda yok. O halde, verilen şıklara uygun bir soru için, doğru cevabı $135^{\circ}$ olacak şekilde ayarlayalım. Örneğin: $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{BAC})=90^{\circ}$, $|AB|=|AC|=1$ olsun (ikizkenar dik üçgen). $|BC|=\sqrt{2}$. Katlama $[BC]$ boyunca yapılırsa, $\widehat{BDC}=90^{\circ}$ olur. Ama $135^{\circ}$ için, üçgenin açıları farklı olmalı. $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC})=90^{\circ}$, $|AB|=1$, $|AC|=\sqrt{3}$ olsun. $|BC|=2$. Katlama sonucu $\widehat{BDC}$: $BD=1$, $CD=\sqrt{3}$, $BC=2$. Kosinüs teoremi: $\cos(\widehat{BDC})=\frac{1^2+(\sqrt{3})^2-2^2}{2\cdot1\cdot\sqrt{3}}=\frac{1+3-4}{2\sqrt{3}}=0$, so $m(\widehat{BDC})=90^{\circ}$. Yine olmadı. $135^{\circ}$ için, $\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Kenar uzunluklarını ayarlayalım: $BD=a$, $CD=b$, $BC=c$ olsun. $\cos(\widehat{BDC})=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. $a$ ve $b$ $AB$ ve $AC$'ye eşit, $c$ $BC$'ye eşit. $ABC$ üçgeninde $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ için $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Yerine koyarsak: $\frac{a^2+b^2-(a^2+b^2)}{2ab}=0$, bu her zaman sıfır olur. Yani, dik üçgende katlama sonucu $\widehat{BDC}$ her zaman $90^{\circ}$ çıkar. O halde, $\widehat{BAC} \neq 90^{\circ}$ olmalı. $m(\widehat{BAC})=120^{\circ}$ olsun, $|AB|=|AC|=1$. $|BC|=\sqrt{1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos120^{\circ}}=\sqrt{1+1-2\cdot(-0.5)}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$. Katlama sonucu $BD=1$, $CD=1$, $BC=\sqrt{3}$. $\cos(\widehat{BDC})=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{3})^2}{2\cdot1\cdot1}=\frac{1+1-3}{2}=\frac{-1}{2}=-0.5$, so $m(\widehat{BDC})=120^{\circ}$. Bu da $135^{\circ}$ değil. $135^{\circ}$ için, $\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.7071$. $a=b=1$ için, $\frac{1+1-c^2}{2}=-0.7071 \Rightarrow 2-c^2=-1.4142 \Rightarrow c^2=3.4142 \Rightarrow c=\sqrt{3.4142}\approx1.848$. $ABC$ üçgeninde $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{BAC})}=\sqrt{1+1-2\cos(\widehat{BAC})}=\sqrt{2-2\cos(\widehat{BAC})}$. $2-2\cos(\widehat{BAC})=3.4142 \Rightarrow \cos(\widehat{BAC})=\frac{2-3.4142}{2}=-0.7071$, so $m(\widehat{BAC})=\arccos(-0.7071)=135^{\circ}$ veya $225^{\circ}$, ama üçgen iç açısı $135^{\circ}$ olabilir. Yani, $m(\widehat{BAC})=135^{\circ}$, $|AB|=|AC|=1$ ise $|BC|\approx1.848$, ve katlama sonucu $m(\widehat{BDC})=135^{\circ}$ olur. Ama şıklarda $135^{\circ}$ var, ve doğru cevap olarak seçebiliriz. Ancak, soruda $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ verilmişti, onu değiştirelim. Soruyu şöyle düzenleyelim: $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|=1$ cm, $m(\widehat{BAC})=135^{\circ}$ olsun. Üçgen $[BC]$ boyunca katlanarak $A$ köşesi $D$ noktasına getiriliyor. Buna göre, $\widehat{BDC}$ açısı kaç derecedir? Cevap $135^{\circ}$ olur. Ama bu, katlama sonucu açının değişmediğini gösterir, ki bu ilginç bir sonuç. Aslında, $|AB|=|AC|$ olduğunda ve katlama $[BC]$ boyunca yapıldığında, $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$ olur. Çünkü $\triangle ABC \cong \triangle DBC$ ve ikizkenar olduğundan, açılar korunur. Bu durumda, doğru cevap $135^{\circ}$ olur. O halde, soruyu bu şekilde ayarlayalım. İlk soru için: $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|=1$ cm, $m(\widehat{BAC})=135^{\circ}$. Üçgen $[BC]$ boyunca katlanarak $A$ köşesi $D$ noktasına getiriliyor. Katlama sonucunda $A$ ve $D$ üst üste gelmiyor, sadece $A$ $D$'ye taşınıyor. Buna göre, $\widehat{BDC}$ açısı kaç derecedir? Seçenekler: $120^{\circ}$, $135^{\circ}$, $150^{\circ}$, $160^{\circ}$, $180^{\circ}$. Doğru cevap $135^{\circ}$ (B şıkkı). Açıklama: Katlama $[BC]$ boyunca yapıldığı için $BD=BA=1$, $CD=CA=1$. $\triangle ABC$ ve $\triangle DBC$ kenar-kenar-kenar eşliği ile eştir. Bu nedenle, karşılıklı açılar eşittir: $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=135^{\circ}$.

Bu mantıkla, soruyu aşağıdaki gibi yazalım.

Ağırlık merkezi G, her kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Kenarortaylar üçgeni altı eşit alanlı üçgene ayırır. GBC üçgeni, ağırlık merkezi ve köşeler tarafından oluşturulan üç üçgenden biridir ve her biri ABC üçgeninin alanının üçte birine eşittir. Bu nedenle, GBC üçgeninin alanı = $ \frac{48}{3} = 16 $ birimkaredir.

Dar açılı üçgende, her açının ölçüsü $90^\circ$'den küçük olduğu için, her kenar için kenar-kare eşitsizliği geçerlidir: $a^2 < b^2 + c^2$, $b^2 < a^2 + c^2$, $c^2 < a^2 + b^2$. Verilen $b=8$ ve $c=15$ için:

• $a^2 < 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \Rightarrow a < 17$
• $15^2 < a^2 + 8^2 \Rightarrow 225 < a^2 + 64 \Rightarrow a^2 > 161 \Rightarrow a > \sqrt{161}$
• Üçgen eşitsizliğinden: $a > |8-15| = 7$ ve $a < 8+15=23$, ancak dar açılı koşulu daha kısıtlayıcıdır.

Bu nedenle, $a$ için aralık $\sqrt{161} < a < 17$ olmalıdır.