Binom Açılımı Soru Çözümü

Genel terim $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} 2^k$ şeklindedir. $x$'in artan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde, terimler $x$'in üssü olan $n-k$'ya göre küçükten büyüğe sıralanır. Baştan 4. terim için, üs sıralamasında 3. sıradaki üs olmalıdır (çünkü 1. terim üs 0, 2. terim üs 1, 3. terim üs 2, 4. terim üs 3). Bu durumda $n-k = 3$, yani $k = n-3$. Terim $\binom{n}{n-3} 2^{n-3} x^{3} = \binom{n}{3} 2^{n-3} x^{3}$ olur. Katsayı $\binom{n}{3} 2^{n-3} = 160$ verilmiştir. Seçenekleri kontrol edersek: $n=6$ için $\binom{6}{3} = 20$ ve $2^{3} = 8$, çarpım 160'dır. Diğer seçenekler bu koşulu sağlamaz.

Genel terim: $$T_{k+1} = \binom{5}{k} (\sqrt{x})^{5-k} (2\sqrt[3]{x})^{k} = \binom{5}{k} 2^k x^{\frac{5-k}{2} + \frac{k}{3}} = \binom{5}{k} 2^k x^{\frac{15 - 3k + 2k}{6}} = \binom{5}{k} 2^k x^{\frac{15-k}{6}}$$

$x$'in kuvvetinin tam sayı olması için $\frac{15-k}{6}$ tam sayı olmalıdır. $k=0,1,2,3,4,5$ değerlerini denersek:

• $k=0$: $\frac{15}{6}=2.5$ (tam sayı değil)
• $k=1$: $\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$ (tam sayı değil)
• $k=2$: $\frac{13}{6}$ (tam sayı değil)
• $k=3$: $\frac{12}{6}=2$ (tam sayı)
• $k=4$: $\frac{11}{6}$ (tam sayı değil)
• $k=5$: $\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ (tam sayı değil)

Sadece $k=3$ tam sayı kuvvet verir. Terim: $$\binom{5}{3} 2^3 x^{2} = 10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$$

Doğru cevap $80x^2$ dir.

Sabit terim, $x$ içermeyen terimdir. Genel terim: $T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot (2x)^{n-k} \cdot (-3)^k$.

Sabit terim için $x$'in üssü sıfır olmalı: $n-k=0$, yani $k=n$.

Terim: $\binom{n}{n} \cdot (2x)^0 \cdot (-3)^n = 1 \cdot 1 \cdot (-3)^n = (-3)^n$.

Verilen sabit terim -243, yani $(-3)^n = -243$.

$-243 = (-3)^5$, çünkü $(-3)^5 = -243$. Buradan $n=5$ bulunur.