Kümeler ve Kartezyen Çarpım Soru Çözümü

Venn şeması veya küme formülleri kullanılabilir. Sadece kimya seçen öğrenci sayısını bulmak için, kimya seçenler kümesinden diğer derslerle kesişimleri çıkaralım, ancak üçlü kesişimi tekrar ekleyelim:

$$\text{Sadece kimya} = s(K) - s(M \cap K) - s(F \cap K) + s(M \cap F \cap K)$$

Verilen değerleri yerine koyalım: $s(K) = 20$, $s(M \cap K) = 8$, $s(F \cap K) = 5$, $s(M \cap F \cap K) = 3$.

$$\text{Sadece kimya} = 20 - 8 - 5 + 3 = 10$$

Bu nedenle, sadece kimya seçen öğrenci sayısı 10'dur.

Kartezyen çarpımın kesişimi için şu özellik kullanılır:

$ (A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) $.

Çünkü, bir sıralı ikili $(x,y)$ her iki kümede de olması için, $x$ hem $A$'da olmalı (zaten her ikisinde de $A$ var) ve $y$ hem $B$ hem $C$'de olmalı, yani $y \in B \cap C$.

Bu nedenle, en sade hali $ A \times (B \cap C) $'dir, yani A şıkkı doğrudur. B şıkkı $ (A \cap A) \times (B \cap C) $ ise aslında $ A \times (B \cap C) $'ye eşittir, ancak $ A \cap A = A $ olduğu için tam sadeleştirilmemiştir ve en sade form değildir.

Erkek çalışan sayısı $E$, kadın çalışan sayısı $K$ olsun. Verilenlere göre, $E = 0.6K$. Ayrıca, bir erkek ve bir kadın çalışanın oluşturduğu ikililerin sayısı, kartezyen çarpım $E \times K$'nın eleman sayısıdır, yani $E \cdot K = 540$. $E = 0.6K$ yerine koyarsak: $$0.6K \cdot K = 540 \Rightarrow 0.6K^2 = 540 \Rightarrow K^2 = \frac{540}{0.6} = 900 \Rightarrow K = 30 \quad (K > 0)$$ Sonra $E = 0.6 \times 30 = 18$. Toplam çalışan sayısı $E + K = 18 + 30 = 48$.