Yaş Problemleri Soru Çözümü

Ahmet'in şimdiki yaşı $A$, Betül'ün şimdiki yaşı $B$ olsun. Verilenlere göre:

• $A = 3B$
• $A + 6 = 2(B + 6)$

İkinci denklemde $A$ yerine $3B$ yazalım:

$$3B + 6 = 2B + 12$$

$$3B - 2B = 12 - 6$$

$$B = 6$$

O halde $A = 3 \times 6 = 18$ olur. Ahmet şimdi $18$ yaşındadır.

Geometrik dizi olduğu için, kişinin yaşı $a=15$, babanın yaşı $ar$, dedenin yaşı $ar^2$ olsun. Dedenin yaşı babasının 2 katı: $ar^2 = 2 \cdot ar$. $a=15$ ve $r \neq 0$ için, $r^2 = 2r \Rightarrow r(r-2)=0 \Rightarrow r=2$. Dedenin yaşı: $ar^2 = 15 \cdot 2^2 = 15 \cdot 4 = 60$.

Yaş $10a + b$ olsun. Rakamları yer değiştirdiğinde $10b + a$ olur. Verilen koşul:

$$10b + a = 2(10a + b) - 36$$

$$10b + a = 20a + 2b - 36$$

$$10b - 2b = 20a - a - 36$$

$$8b = 19a - 36$$

$a$ ve $b$ rakam olduğundan, denklemi sağlayan değerleri bulmalıyız. $a$ 1'den 9'a kadar deneyelim:

$a=1$: $8b = 19-36=-17$, geçersiz.

$a=2$: $8b = 38-36=2 \Rightarrow b=0.25$, geçersiz.

$a=3$: $8b = 57-36=21 \Rightarrow b=2.625$, geçersiz.

$a=4$: $8b = 76-36=40 \Rightarrow b=5$, geçerli. $a=4, b=5$.

$a=5$: $8b = 95-36=59 \Rightarrow b=7.375$, geçersiz.

$a=6$: $8b = 114-36=78 \Rightarrow b=9.75$, geçersiz.

$a=7$ ve üzeri için $b$ 9'dan büyük çıkar.

O halde $a=4, b=5$, yaş $10 \times 4 + 5 = 45$. Kontrol: Ters sayı 54, 2×45=90, 90-36=54, doğru.

Doğru cevap $\mathbf{45}$.