Çarpanlara Ayırma Soru Çözümü

Küp toplamı özdeşliğini kullanırız: $$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}\right)$$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$ olduğundan, $x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 1 = \left( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 \right) - 1 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3$ olur.

O halde: $$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right) \left( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3 \right)$$

Verilen $x + \frac{1}{x} = 5$ değerini yerine koyalım: $$5 \times (5^2 - 3) = 5 \times (25 - 3) = 5 \times 22 = 110$$

Doğru cevap 110 dur.

Eğer $(x+4)$ bir çarpan ise, $x = -4$ değeri için ifade sıfıra eşit olmalıdır. Yerine koyalım:

$$(-4)^2 + a(-4) - 12 = 0$$

$$16 - 4a - 12 = 0$$

$$4 - 4a = 0$$

$$4a = 4$$

$$a = 1$$

Bu nedenle doğru cevap $a = 1$'dir.

Kesrin sadeleşebilmesi için pay ve paydanın ortak çarpanı olmalıdır. Paydayı çarpanlarına ayıralım: $$x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$$ Payın da bu çarpanlardan en az biri ile bölünebilmesi gerekir. $x=-3$ için pay sıfır olmalı: $$(-3)^2 + m(-3) + 12 = 9 - 3m + 12 = 21 - 3m = 0 \rightarrow m=7$$ $x=-4$ için: $$16 - 4m + 12 = 28 - 4m = 0 \rightarrow m=7$$ Her iki durumda da $m=7$ bulunur. Yani pay $x^2+7x+12$ olur ve kesir tamamen sadeleşerek $1$ olur.