Temel Kavramlar Soru Çözümü

En küçük sayı için ilk basamak $0$ olamayacağından en küçük sıfır olmayan rakam $1$ seçilir. Sonraki basamaklar için kalan en küçük rakamlar kullanılır, ancak sayı çift olmalıdır, yani son basamak çift rakam olmalıdır. Rakamlar $0,1,2,3,4$ alınırsa, ilk basamak $1$, ikinci $0$, üçüncü $2$, dördüncü $3$, son basamak çift olarak $4$ seçilerek sayı $10234$ elde edilir. Bu sayı çift ve verilen koşulları sağlar. Şık E'deki $10230$ rakamları farklı değildir ($0$ tekrar etmektedir), diğer şıklar ise daha büyük sayılardır.

Sondaki sıfır sayısı $5$ çarpanlarının sayısına bağlıdır. $n!$'deki $5$ çarpanları sayısını hesaplayarak, $12$'yi sağlayan en küçük $n$'i bulmalıyız. Formül: $S = \left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor + \ldots$ $S = 12$ olması için $n$ değerlerini test edelim. Örneğin, $n = 49$ için: $\left\lfloor\frac{49}{5}\right\rfloor = 9$, $\left\lfloor\frac{49}{25}\right\rfloor = 1$, toplam $10$ (12'den az). $n = 50$ için: $\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor = 10$, $\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor = 2$, toplam $12$. $n = 48$ için daha az olur (9+1=10). Bu nedenle en küçük $n = 50$'dir. Doğru cevap 50.

Faktöriyel tanımını kullanarak sadeleştirelim:

$$10! = 10 \times 9 \times 8!$$

O halde, $$\frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$$

Veya kombinasyon formülü ile: $C(10,2) = 45$.