Mutlak Değer Soru Çözümü

Mutlak değer özelliğine göre, $|ax + b| = c$ ise $ax + b = c$ veya $ax + b = -c$ olur.

Bu durumda: $|2x + 1| = 7 \implies 2x + 1 = 7$ veya $2x + 1 = -7$.

İlk denklem: $2x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

İkinci denklem: $2x + 1 = -7 \implies 2x = -8 \implies x = -4$.

Çözüm kümesi: $\{3, -4\}$.

Mutlak değer tanımından: $$x^2 - 5x = 6 \quad \text{veya} \quad x^2 - 5x = -6$$ Birinci denklem: $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ Kökler: $x=6$ ve $x=-1$, toplamı $5$. İkinci denklem: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Kökler: $x=2$ ve $x=3$, toplamı $5$. Tüm köklerin toplamı: $5 + 5 = 10$.

$2 < |x^2 - 4| < 10$ eşitsizliğini çözelim.

Durum I: $x^2 - 4 > 0$ ise, $|x^2-4| = x^2-4$. O zaman $2 < x^2-4 < 10$.

Buradan: $2 < x^2-4 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow x < -\sqrt{6}$ veya $x > \sqrt{6}$ ve $x^2-4 < 10 \Rightarrow x^2 < 14 \Rightarrow -\sqrt{14} < x < \sqrt{14}$.

Birleştirirsek: $-\sqrt{14} < x < -\sqrt{6}$ veya $\sqrt{6} < x < \sqrt{14}$.

Yaklaşık değerler: $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{14} \approx 3.742$. Tam sayılar: $x = -3$ (çünkü $-3.742 < -3 < -2.449$) ve $x = 3$ (çünkü $2.449 < 3 < 3.742$).

Durum II: $x^2 - 4 < 0$ ise, $|x^2-4| = 4 - x^2$. O zaman $2 < 4-x^2 < 10$.

$2 < 4-x^2 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$. İkinci eşitsizlik $4-x^2 < 10 \Rightarrow x^2 > -6$ her zaman doğrudur.

Ayrıca $x^2-4 < 0$ olduğundan $-2 < x < 2$ olmalı, ama $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ zaten bu aralığın alt kümesidir ($\sqrt{2} \approx 1.414$).

Bu aralıktaki tam sayılar: $x = -1, 0, 1$.

Tüm tam sayılar: $-3, -1, 0, 1, 3$ toplam 5 tanedir.