Permütasyon ve Kombinasyon Soru Çözümü

Harfleri alfabetik sırayla: A, A, E, İ, K, M, M, T, T. 'MATEMATİK' kelimesinin sırasını bulmak için sistemli sayma yapalım.

Toplam permütasyon sayısı: $$\frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{362880}{8} = 45360$$ (A, M, T harfleri 2'şer kez tekrar ettiği için).

Alfabetik sırada 'MATEMATİK'ten önce gelen kelimeleri sayalım:

• İlk harf 'A' ile başlayanlar: Kalan harfler A, E, İ, K, M, M, T, T (8 harf, A 1 kez, M 2 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{8!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{4} = 10080$$
• İlk harf 'E' ile başlayanlar: Kalan harfler A, A, İ, K, M, M, T, T (8 harf, A 2 kez, M 2 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{8} = 5040$$
• İlk harf 'İ' ile başlayanlar: Kalan harfler A, A, E, K, M, M, T, T (8 harf, A 2 kez, M 2 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 5040$$
• İlk harf 'K' ile başlayanlar: Kalan harfler A, A, E, İ, M, M, T, T (8 harf, A 2 kez, M 2 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 5040$$
• Şimdi 'M' ile başlayanları inceleyelim. İkinci harf 'A' ile başlayanlar: Kalan harfler A, E, İ, K, M, T, T (7 harf, A 1 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{7!}{1! \cdot 2!} = \frac{5040}{2} = 2520$$
• İkinci harf 'E' ile başlayanlar: Kalan harfler A, A, İ, K, M, T, T (7 harf, A 2 kez, T 2 kez tekrar). $$\frac{7!}{2! \cdot 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$$
• Şimdi 'MA' ile başlayıp üçüncü harf 'T' ile başlayanlar: 'MAT' için kalan harfler A, E, İ, K, M, T (6 harf, A 1 kez, T 1 kez tekrar). $$\frac{6!}{1! \cdot 1!} = 720$$
• Üçüncü harf 'E' ile başlayanlar: 'MAE' için kalan harfler A, İ, K, M, T, T (6 harf, T 2 kez tekrar). $$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$$
• Şimdi 'MAT' ile başlayıp dördüncü harf 'E' ile başlayanlar: 'MATE' için kalan harfler A, İ, K, M, T (5 harf). $$5! = 120$$
• Dördüncü harf 'M' ile başlayanlar: 'MATM' için kalan harfler A, E, İ, K, T (5 harf). $$5! = 120$$
• Şimdi 'MATE' ile başlayıp beşinci harf 'M' ile başlayanlar: 'MATEM' için kalan harfler A, İ, K, T (4 harf). $$4! = 24$$
• Beşinci harf 'A' ile başlayanlar: 'MATEMA' için kalan harfler İ, K, T (3 harf). $$3! = 6$$
• Şimdi 'MATEMA' ile başlayıp altıncı harf 'T' ile başlayanlar: 'MATEMAT' için kalan harfler İ, K (2 harf). $$2! = 2$$
• Altıncı harf 'İ' ile başlayanlar: 'MATEMAİ' için kalan harfler K, T (2 harf). $$2! = 2$$
• 'MATEMAT' ile başlayıp yedinci harf 'İ' ile başlayanlar: 'MATEMATİ' için kalan harf K (1 harf). $$1! = 1$$
• Sonra 'MATEMATİK' gelir, yani bir sonraki sıradadır.

Toplam sıra: $$10080 (A ile) + 5040 (E ile) + 5040 (İ ile) + 5040 (K ile) + 2520 (MA ile) + 1260 (ME ile) + 720 (MAT ile) + 360 (MAE ile) + 120 (MATE ile) + 120 (MATM ile) + 24 (MATEM ile) + 6 (MATEMA ile) + 2 (MATEMAT ile) + 2 (MATEMAİ ile) + 1 (MATEMATİ ile) + 1 = \boxed{12360}$$

Harfleri alfabetik sırayla: E, E, İ, K, L, M. 'KELİME' kelimesinin sırasını bulmak için alfabetik olarak önce gelen tüm permütasyonları sayarız.

Toplam permütasyon sayısı: $\frac{6!}{2!} = 360$ (E harfi 2 kez tekrar ettiği için).

Adım adım sıra hesaplama:

• İlk harf 'E' ile başlayanlar: Kalan harfler E, İ, K, L, M (5 harf, E tekrarı yok). $$\frac{5!}{1!} = 120$$
• İlk harf 'İ' ile başlayanlar: Kalan harfler E, E, K, L, M (5 harf, E 2 kez tekrar). $$\frac{5!}{2!} = 60$$
• Şimdi 'K' ile başlayanları inceleyelim. İkinci harf 'E' ile başlayanlar: Kalan harfler E, İ, L, M (4 harf, E tekrarı yok). $$4! = 24$$
• İkinci harf 'İ' ile başlayanlar: Kalan harfler E, E, L, M (4 harf, E 2 kez tekrar). $$\frac{4!}{2!} = 12$$
• Şimdi 'KE' ile başlayıp üçüncü harf 'L' ile başlayanlar: 'KEL' için kalan harfler E, İ, M (3 harf, E tekrarı yok). $$3! = 6$$
• Üçüncü harf 'M' ile başlayanlar: 'KEM' için kalan harfler E, İ, L (3 harf, E tekrarı yok). $$3! = 6$$
• Şimdi 'KEL' ile başlayıp dördüncü harf 'İ' ile başlayanlar: 'KELİ' için kalan harfler E, M (2 harf). $$2! = 2$$
• Dördüncü harf 'M' ile başlayanlar: 'KELM' için kalan harfler E, İ (2 harf). $$2! = 2$$
• 'KELİ' ile başlayıp beşinci harf 'E' ile başlayanlar: 'KELİE' için kalan harf M (1 harf). $$1! = 1$$
• Sonra 'KELİM' gelir ve kalan harf E'dir. 'KELİME' bu permütasyondan sonra gelir, yani bir sonraki sıradadır.

Toplam sıra: $$120 (E ile) + 60 (İ ile) + 24 (KE ile) + 12 (Kİ ile) + 6 (KEL ile) + 6 (KEM ile) + 2 (KELİ ile) + 2 (KELM ile) + 1 (KELİE ile) + 1 = \boxed{92}$$

Toplam harf sayısı: $n = 6$. Tekrarlı harfler: A harfi $3$ kez, N, K, R harfleri her biri $1$ kez. Tekrarlı permütasyon formülü: $$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!} = \frac{6!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{6} = 120$$