Karışım ve İşçi Problemleri Soru Çözümü

Ali'nin günlük iş kapasitesi $\frac{1}{6}$, Ahmet'in günlük iş kapasitesi $\frac{1}{12}$'dir. İşe Ali başladığı için sıralama: 1. gün Ali, 2. gün Ahmet, 3. gün Ali, 4. gün Ahmet şeklinde devam eder.

İki günde (Ali + Ahmet) toplam yapılan iş: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

4 tam çevrim (yani 8 gün) sonra işin $\frac{1}{4} \times 4 = 1$ yani tamamı bitmiş olur diye düşünülebilir, ancak bu yanıltıcıdır çünkü son çevrimde iş tamamlanabilir. Alternatif yaklaşım: Her iki günde $\frac{1}{4}$ iş biter. İşin tamamı 1 olduğundan, $1$'e ulaşmak için gerekli iki günlük çevrim sayısı: $$1 \div \frac{1}{4} = 4$$ çevrim, yani $4 \times 2 = 8$ gün. Ancak bu, işin 8. günün sonunda bittiğini varsayar. Kontrol edelim:

8 günde sıra: 1A, 2H, 3A, 4H, 5A, 6H, 7A, 8H

Toplam iş: 4 gün Ali ($4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$) + 4 gün Ahmet ($4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12}$) = $$\frac{4}{6} + \frac{4}{12} = \frac{8}{12} + \frac{4}{12} = \frac{12}{12} = 1$$ Doğru, iş 8. günün sonunda biter. Ancak şıklarda 8 yok, 9 var. Dikkat: İşe Ali başlıyor ve Ahmet'in çalıştığı günlerde iş bitiyor olabilir mi? Hesapladığımızda 8 günde iş bitti. Ama belki de 8 gün sonunda iş bitmiyordur? Tekrar kontrol: 7. gün Ali çalıştıktan sonra kalan iş: 1 - (3.5 gün Ali + 3.5 gün Ahmet? Hayır, düzgün hesaplayalım:

7 gün sonunda: 4 gün Ali (1.,3.,5.,7.) ve 3 gün Ahmet (2.,4.,6.) çalışmıştır.

Toplam iş: $$4 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{6} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$ Kalan iş: $\frac{1}{12}$.

8. gün Ahmet çalışır ve günde $\frac{1}{12}$ iş yapar, yani tamamını bitirir. Demek ki iş 8 günde biter. Ama şıklarda 8 yok. Bir hata yapmış olabilir miyim? Belki de işe Ali başladığı için ve Ahmet'in çalıştığı son gün iş bittiğinde, toplam gün sayısı 8'dir. Ancak şıklarda 8 olmadığına göre, soruyu yeniden değerlendirelim: Ali 6 günde, Ahmet 12 günde bitiriyor. Ortak çalışma hızları: iki günde $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. 8 günde 4 çevrim olur ve iş biter. Cevap 8 olmalı, ama şık yok. O zaman soruda farklı bir mantık olabilir: Belki de işin bittiği gün çalışan kişi işi bitirdiği için o günün tamamını çalışmıyordur? Örneğin, 8. gün Ahmet çalışırken iş biterse, 8. günün tamamı çalışılmaz. Ama bu durumda kesirli gün hesaplaması yapmak gerekir. Deneyelim:

7 gün sonunda kalan iş $\frac{1}{12}$. 8. gün Ahmet çalışmaya başlar ve $\frac{1}{12}$ işi yapması 1 gün sürer, yani iş 8. günün sonunda biter. Toplam 8 gün. Ancak şıklarda 8 olmadığı için, benim ürettiğim soruda şıkları 8'i içerecek şekilde ayarlamalıyım. Ama bu örnekte şıklar verilmiş, ben 9'u doğru seçmişim. Acaba hesabımda hata mı var? Tekrar: Ali 1/6, Ahmet 1/12. 7 gün sonra: Ali 4 gün, Ahmet 3 gün çalışmış. İş: 4/6 + 3/12 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Kalan 1/12. 8. gün Ahmet çalışır ve 1/12 işi 1 günde yapar, yani iş 8. gün biter. Toplam 8 gün. O halde doğru cevap 8 olmalı, ama şıklarda yok. Ben şimdi bu soruyu üretiyorum, şıkları kendim belirleyeceğim. O zaman doğru cevabı 8 yapayım ve şıkları buna göre düzenleyeyim. Ancak kullanıcı benden 3 soru üretmemi istiyor ve ben şıkları kendim belirleyeceğim. O zaman bu soru için doğru cevap 8 olacak şekilde şıkları ayarlayacağım. Ama örnekte ben 9'u doğru seçmişim, bu yanlış. Düzeltelim:

Ali ve Ahmet bir işi sırayla birer gün arayla çalışıyor. Ali tek başına 6 günde, Ahmet 12 günde bitiriyor. İşe Ali başlıyor. Toplam gün sayısını bulalım.

Yaklaşım: İki günlük çevrimde yapılan iş = 1/6 + 1/12 = 1/4. İşin tamamı 1. 1 / (1/4) = 4 çevrim, yani 8 gün gerekir. İş 8. günün sonunda biter. Doğru cevap 8.

O halde şıkları düzenleyip doğru cevap indeksini buna göre ayarlayacağım. Ama kullanıcıya verdiğim örnekte 9'u doğru göstermişim, bu hatalı. Şimdi düzeltiyorum.

Yeni şıklar: 7, 8, 9, 10, 11. Doğru cevap 8, yani indeks 1 olacak (eğer şıklar sırayla 7,8,9,10,11 ise).

Açıklama: Her iki günde yapılan iş miktarı hesaplanır ve toplam gün sayısı bulunur.

Bu soru çözülebilir, cevap doğru, açıklama yeterli.

Tekin'in günlük iş kapasitesi $\frac{1}{10}$, Metin'in $\frac{1}{15}$, Selim'in $\frac{1}{30}$'dur. İşe Tekin başladığı için sıralama: 1. gün Tekin, 2. gün Metin, 3. gün Selim, 4. gün Tekin, 5. gün Metin, ... şeklinde devam eder.

Üç günlük bir çevrimde yapılan toplam iş: $$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$

Yani her 3 günde işin $\frac{1}{5}$'i biter. İşin tamamı 1 olduğundan, 5 çevrim gerekir (çünkü $\frac{1}{5} \times 5 = 1$). 5 çevrim $5 \times 3 = 15$ gün eder. Ancak bu, işin 15. günün sonunda bittiğini varsayar. Kontrol edelim: 15 günde 5 tam çevrim olur. 15 gün sonunda: Tekin 5 gün, Metin 5 gün, Selim 5 gün çalışmış olur. Toplam iş: $$5 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{15} + 5 \times \frac{1}{30} = \frac{5}{10} + \frac{5}{15} + \frac{5}{30} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{5}{30} = \frac{30}{30} = 1$$ Doğru, iş 15 günde biter. Ama şıklarda 15 var, indeks 0. Ancak burada bir incelik var: İş 15. günün sonunda mı bitiyor, yoksa daha önce mi? Çünkü çevrimler tam olmayabilir. Örneğin, 14 gün sonunda kaç çevrim yapılmıştır? 14 günde 4 tam çevrim (12 gün) ve 2 ek gün (13. gün Tekin, 14. gün Metin). Hesaplayalım: 14 günde çalışma: Tekin 5 gün (1,4,7,10,13), Metin 5 gün (2,5,8,11,14), Selim 4 gün (3,6,9,12). Toplam iş: $$5 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{15} + 4 \times \frac{1}{30} = \frac{5}{10} + \frac{5}{15} + \frac{4}{30} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{4}{30} = \frac{29}{30}$$ Kalan iş: $\frac{1}{30}$. 15. gün Selim çalışacak ve günde $\frac{1}{30}$ iş yapacağı için işi bitirecek. Yani iş 15. günde biter. Toplam 15 gün. Doğru cevap 15, şıklarda var. Ama ben indeksi 2 yapmışım, bu yanlış. Düzeltmem gerekiyor. Doğru cevap 15, yani A şıkkı, indeks 0. Ancak şıkları verirken sırayı değiştirmeyeyim, doğru cevap 15 olsun ve indeks 0 olsun. Ama ben önceki soruda 8 günü doğru yapmıştım, burada da 15 gün doğru. O zaman bu soru için correct_answer_index = 0 olacak. Açıklamayı da buna göre düzenleyeceğim.

Açıklama: Üç günlük çevrimde yapılan iş hesaplanır, toplam çevrim sayısı bulunur ve gün sayısı hesaplanır. İş 15. günde biter.

Bu soru çözülebilir, cevap doğru, açıklama yeterli.

İşin tamamı 1 birim olsun. Günlük hızlar: Ahmet $\frac{1}{10}$, Mehmet $\frac{1}{15}$, Can $\frac{1}{30}$. İlk yarıda (işin $\frac{1}{2}$'si) üçü birlikte çalışır. Birlikte günlük hız: $$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3+2+1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$ İlk yarıyı bitirme süresi: $$\frac{1/2}{1/5} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \text{ gün}$$ Bu sürede yapılan işler: Ahmet $2.5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{4}$, Mehmet $2.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$, Can $2.5 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{12}$. Kalan yarı işi Ahmet ve Mehmet birlikte tamamlar. İkisinin günlük hızı: $$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$ Süre: $$\frac{1/2}{1/6} = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ gün}$$ Bu sürede: Ahmet $3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$, Mehmet $3 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{5}$. Toplam işler: Ahmet $\frac{1}{4} + \frac{3}{10} = \frac{11}{20}$, Mehmet $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} = \frac{11}{30}$, Can $\frac{1}{12}$. Paydalar eşitlenirse: Ahmet $\frac{33}{60}$, Mehmet $\frac{22}{60}$, Can $\frac{5}{60}$. Mehmet'in payı $\frac{22}{60} = \frac{11}{30}$, ücreti: $$\frac{11}{30} \times 2400 = 880 \text{ TL}$$