Katı Cisimler Soru Çözümü

Ayrıtlar aritmetik dizi olduğu için, en küçük ayrıt $a$, ortak fark $d$ olmak üzere ayrıtlar $a$, $a+d$, $a+2d$ şeklindedir. En büyük ayrıt $a+2d=10$ cm ve ayrıtlar toplamı $3a+3d=24$ cm'dir. İkinci denklemden $a+d=8$ cm elde edilir. $a+2d=10$ ve $a+d=8$ denklemleri çözülürse $d=2$ cm ve $a=6$ cm bulunur. Böylece ayrıtlar $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm olur. Cisim köşegeni formülü: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Değerler yerine konulursa: $d = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cm.

Tam dolu silindirin hacmi $V = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi \, cm^3$. Kap $\alpha$ açısı kadar eğildiğinde, dökülen su hacmi formülü $V_d = \frac{1}{2} \pi r^2 h (1 - \cos\alpha)$ şeklindedir. Verilen $V_d = 25\pi \, cm^3$ olduğuna göre, $$25\pi = \frac{1}{2} \times 250\pi \times (1 - \cos\alpha) = 125\pi (1 - \cos\alpha)$$ $$\Rightarrow 1 - \cos\alpha = \frac{25\pi}{125\pi} = 0.2$$ $$\Rightarrow \cos\alpha = 1 - 0.2 = 0.8$$ olur.

Prizmanın hacmi: $V_{\text{prizma}} = A \times h$ (taban alanı $\times$ yükseklik).

Piramidin hacmi: $V_{\text{piramit}} = \frac{A \times h}{3}$.

Aynı taban alanı $A$ ve yükseklik $h$ için oran:

$$\frac{V_{\text{prizma}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{A \times h}{\frac{A \times h}{3}} = 3.$$

Bu nedenle, doğru cevap 3.