Yüzde, Kar-Zarar Problemleri Soru Çözümü

Toplam kar $P$, gelir ile maliyet arasındaki farktır: $P = \text{gelir} - \text{maliyet}$.

Gelir: $x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2$ TL.

Maliyet: $100x + 5000$ TL.

Toplam kar: $P = (200x - 0.5x^2) - (100x + 5000) = 200x - 0.5x^2 - 100x - 5000 = -0.5x^2 + 100x - 5000$.

Bu ikinci dereceden fonksiyonun maksimum noktası için $x = -\frac{b}{2a}$, burada $a = -0.5$, $b = 100$.

$x = -\frac{100}{2 \times (-0.5)} = \frac{100}{1} = 100$.

Doğru cevap 100 adettir, çünkü bu değer $0 \le x \le 180$ aralığında kar fonksiyonunu maksimum yapar ve türev testiyle doğrulanır.

Maliyet fiyatı $100$ birim varsayalım. Satış fiyatı maliyet fiyatına eşit olduğundan, $100$ birim. Terazi $\%25$ fazla tarttığı için, satıcı aslında $1.25$ kg malı $1$ kg fiyatına satmaktadır. Gerçekte satılan malın maliyeti: $100 \times 1.25 = 125$ birim. Satış fiyatı $100$ birim olduğundan, zarar: $125 - 100 = 25$ birim. Zarar oranı: $\frac{25}{125} = 0.2 = \%20$. Genel formül: Gerçek zarar oranı $ = 1 - \frac{\text{satış fiyatı}}{\text{gerçek maliyet}} = 1 - \frac{1}{1.25} = 1 - 0.8 = 0.2$.

Kar satış fiyatının %20'si olduğundan, kar = $0.2 \times 240 = 48$ TL'dir. Alış fiyatı, satış fiyatından kar çıkarılarak bulunur: $A = 240 - 48 = 192$ TL.