Bölme ve Bölünebilme Soru Çözümü

$4$ ile bölünebilme kuralına göre, bir sayının $4$ ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının $4$ ile tam bölünebilmesi gerekir. $00$'dan $99$'a kadar olan iki basamaklı sayılar (100 farklı değer) içinde $4$ ile tam bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız.

İki basamaklı sayılar $00, 01, 02, ..., 99$ arasındadır. Bunlar $0, 1, 2, ..., 99$ olarak düşünülebilir (toplam 100 sayı). $4$ ile bölünebilenler $0, 4, 8, ..., 96$ dizisindedir. Terim sayısı formülünü kullanalım: $$ ext{Terim sayısı} = \frac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 = \frac{96 - 0}{4} + 1 = 24 + 1 = 25$$

Bu nedenle, $25$ farklı iki basamaklı sayı $4$ ile tam bölünebilir. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir. Rakamlar toplamı: $5 + a + 3 + b = a + b + 8$. Kalan 2 olduğuna göre, $a + b + 8 \equiv 2 \pmod{9}$, yani $a + b \equiv -6 \equiv 3 \pmod{9}$. $a$ ve $b$ rakam olduğu için $a+b$ 0 ile 18 arasındadır. $a+b \equiv 3 \pmod{9}$ koşulunu sağlayan değerler $a+b=3$ veya $a+b=12$ olabilir. Seçeneklerde $3$ bulunduğu için doğru cevap A'dır.

Bu sayılar $11k+4$ formundadır, $k$ tam sayı. Eşitsizlik: $123 \leq 11k+4 \leq 456$. Her taraftan 4 çıkaralım: $119 \leq 11k \leq 452$. Her tarafı 11'e bölelim: $\frac{119}{11} \leq k \leq \frac{452}{11}$, yani $10.818... \leq k \leq 41.090...$. $k$ tam sayı olduğu için, $k$ değerleri 11, 12, ..., 41'dir. Kaç tane olduğunu bulmak için: $41 - 11 + 1 = 31$. Dolayısıyla 31 tam sayı vardır.