ALES · Matematik

İşlem ve Modüler Aritmetik Soru Çözümü

İşlem ve Modüler Aritmetik, ALES Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

Aşağıdaki tabloda tanımlı $*$ işlemi, her satırda belirli bir kurala göre düzenlenmiştir. Buna göre, $?$ işaretli yer kaçtır?

*	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	2	3	4	0	1
2	4	0	1	2	3
3	1	2	3	4	?
4	3	4	0	1	2

$0$
Doğru cevap
B
$1$
C
$2$
D
$3$
E
$4$

Çözüm

Tabloya dikkatle bakıldığında, her satırın bir önceki satırın her elemanına $2$ eklenip $\mod 5$ alınarak elde edildiği görülür. Örneğin, $0$. satır: $0,1,2,3,4$; $1$. satır: $0+2=2, 1+2=3, 2+2=4, 3+2=5 \mod 5=0, 4+2=6 \mod 5=1$ yani $2,3,4,0,1$; $2$. satır: $2+2=4, 3+2=5 \mod 5=0, 4+2=6 \mod 5=1, 0+2=2, 1+2=3$ yani $4,0,1,2,3$; $3$. satır: $4+2=6 \mod 5=1, 0+2=2, 1+2=3, 2+2=4, 3+2=5 \mod 5=0$ yani $1,2,3,4,0$. Bu durumda $? = 0$ olur.

Soru 2

$b_n = (n \mod 4)^2 + (n \mod 6)$ olarak tanımlanıyor. $T = \sum_{n=1}^{24} b_n$ toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

$0$
Doğru cevap
B
$2$
C
$4$
D
$6$
E
$7$

Çözüm

$b_n$ dizisi periyodiktir çünkü $n \mod 4$ ve $n \mod 6$ periyodik fonksiyonlardır. Periyotların en küçük ortak katı 12'dir, yani $b_n$ 12 periyotludur.

Bir periyot için $n=1$ ile $12$ arasındaki değerleri hesaplayalım:

$n=1$: $(1 \mod 4)^2 + (1 \mod 6) = 1^2 + 1 = 2$
$n=2$: $2^2 + 2 = 4+2=6$
$n=3$: $3^2 + 3 = 9+3=12$
$n=4$: $0^2 + 4 = 0+4=4$
$n=5$: $1^2 + 5 = 1+5=6$
$n=6$: $2^2 + 0 = 4+0=4$
$n=7$: $3^2 + 1 = 9+1=10$
$n=8$: $0^2 + 2 = 0+2=2$
$n=9$: $1^2 + 3 = 1+3=4$
$n=10$: $2^2 + 4 = 4+4=8$
$n=11$: $3^2 + 5 = 9+5=14$
$n=12$: $0^2 + 0 = 0+0=0$

Toplam: $2+6+12+4+6+4+10+2+4+8+14+0 = 72$.

$n=1$ ile $24$ arası iki periyot olduğu için toplam $2 \times 72 = 144$.

$144$ sayısının 8 ile bölümünden kalan $0$'dır çünkü $144 = 8 \times 18$.

Soru 3

$a \bigstar b = (a^2 + b) \mod 10$ işlemi tanımlanıyor. Buna göre $(2 \bigstar 3) \bigstar 4$ işleminin sonucu kaçtır?

A
$0$
B
$1$
C
$2$
$3$
Doğru cevap
E
$4$

Çözüm

Adım adım hesaplayalım:

İlk olarak $2 \bigstar 3 = (2^2 + 3) \mod 10 = (4 + 3) \mod 10 = 7 \mod 10 = 7$.

Sonra $7 \bigstar 4 = (7^2 + 4) \mod 10 = (49 + 4) \mod 10 = 53 \mod 10 = 3$.

Bu nedenle sonuç 3'tür.

İşlem ve Modüler Aritmetik konusunu uygulamada çöz

Optik'te ALES Matematik dersinde işlem ve modüler aritmetik konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başla App Store Google Play

Soru 1

Soru 2

Soru 3

İşlem ve Modüler Aritmetik konusunu uygulamada çöz

Matematik — diğer konular