Geometri: Çokgenler ve Dörtgenler Soru Çözümü

İç açı $i$, dış açı $d$ olsun. $i = 4d$ ve $i + d = 180^\circ$ olduğunu biliyoruz. Yerine koyarsak: $4d + d = 180^\circ \Rightarrow 5d = 180^\circ \Rightarrow d = 36^\circ$. Kenar sayısı formülü $n = \frac{360^\circ}{d}$ ile $n = \frac{360}{36} = 10$ elde edilir.

İkizkenar yamukta $AB$ ve $CD$ tabanları paralel olduğundan, $A$ ve $B$ noktalarından $CD$'ye dikmeler indirilir. $AB$'den $CD$'ye indirilen dikmelerin ayakları $E$ ve $F$ olsun. $|AE| = |BF| = h$ yükseklik, ve $|DE| = |CF| = \frac{|AB| - |CD|}{2} = \frac{12-8}{2} = 2$ cm olur. $ADE$ dik üçgeninde Pisagor teoreminden: $h^2 = |AD|^2 - |DE|^2 = 5^2 - 2^2 = 25-4=21$, yani $h = \sqrt{21}$ cm. Şimdi, $A$ noktasını $(0,0)$ ve $AB$'yi $x$-ekseni üzerinde alırsak, $C$ noktasının koordinatları $|AB| - |CF| = 12-2=10$ ve $h = \sqrt{21}$ olur, yani $C=(10, \sqrt{21})$. Bu durumda $AC = \sqrt{10^2 + (\sqrt{21})^2} = \sqrt{100+21} = \sqrt{121} = 11$ cm. Doğru cevap $\boxed{11}$ cm'dir.

Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir ve birbirini iki eşit parçaya böler. Köşegen uzunlukları $d_1 = 6$ cm ve $d_2 = 8$ cm ise, yarıları $3$ cm ve $4$ cm olur. Bir kenar uzunluğu Pisagor teoreminden:

$$a = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Çevre uzunluğu $4a = 4 \times 5 = 20$ cm'dir.