İçeriğe geç
OptikOptik.
ALES · Matematik

Geometri: Analitik ve Katı Cisimler Soru Çözümü

Geometri: Analitik ve Katı Cisimler, ALES Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

Bir küpün köşe koordinatları A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0), E(0,0,4), F(4,0,4), G(4,4,4), H(0,4,4) şeklindedir. Buna göre, A ve C noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A

    $4$

  2. $4\sqrt{2}$

    Doğru cevap
  3. C

    $8$

  4. D

    $4\sqrt{3}$

  5. E

    $8\sqrt{2}$

Çözüm

A(0,0,0) ve C(4,4,0) noktaları arasındaki uzaklık, analitik uzayda uzaklık formülü ile hesaplanır: $$\sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Bu uzaklık, küpün bir yüzey köşegenidir. Kenar uzunluğu $a=4$ olduğundan, yüzey köşegeni $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ olur.

Soru 2

Bir küpün hacmi, yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan bir silindirin hacmine eşittir. Küpün bir kenar uzunluğu $a$ ise, ve $r = \frac{a}{2}$ olarak veriliyorsa, $h$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A

    $\frac{a}{\pi}$

  2. $\frac{4a}{\pi}$

    Doğru cevap
  3. C

    $\frac{a}{2\pi}$

  4. D

    $\frac{2a}{\pi}$

  5. E

    $\frac{a}{4\pi}$

Çözüm

Küpün hacmi: $V_{\text{küp}} = a^3$. Silindirin hacmi: $V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h$. Verilenlere göre, $r = \frac{a}{2}$. Hacimler eşit olduğundan: $a^3 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{4}$. Bu denklemi $h$ için çözelim: $a^3 = \frac{\pi a^2 h}{4}$. Her iki tarafı $a^2$ ile bölelim ($a \neq 0$ varsayılır): $a = \frac{\pi h}{4}$. O halde, $h = \frac{4a}{\pi}$. Doğru cevap B şıkkıdır.

Soru 3

$A(2, k)$ ve $B(k, 8)$ noktaları arasındaki uzaklık $\sqrt{52}$ birim ise $k$'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

  1. A

    4

  2. B

    6

  3. 8

    Doğru cevap
  4. D

    10

  5. E

    12

Çözüm

İki nokta arası uzaklık formülü: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Verilen noktalar için: $d = \sqrt{(k-2)^2 + (8-k)^2} = \sqrt{52}$. Her iki tarafın karesi alınırsa: $(k-2)^2 + (8-k)^2 = 52$. Açılım: $k^2 - 4k + 4 + k^2 -16k +64 = 52 \Rightarrow 2k^2 -20k +68 =52 \Rightarrow 2k^2 -20k +16=0 \Rightarrow k^2 -10k +8=0$. İkinci dereceden denklemin kökler çarpımı $c/a = 8/1 = 8$. Doğru cevap C seçeneğidir.

Geometri: Analitik ve Katı Cisimler konusunu uygulamada çöz

Optik'te ALES Matematik dersinde geometri: analitik ve katı cisimler konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Matematik — diğer konular

Tümünü gör