Mutlak Değer Soru Çözümü

$a < 0$ ve $|a| = b$ olduğuna göre, $|a| = -a = b$ yani $a = -b$ olur. Şimdi ifadeleri yerine koyalım:

• $a+b = -b + b = 0$, dolayısıyla $|a+b| = |0| = 0$.
• $a-b = -b - b = -2b$, ve $-2b < 0$ olduğundan ($b > 0$), $|a-b| = -(-2b) = 2b$.

Toplam: $|a+b| + |a-b| = 0 + 2b = 2b$. Bu nedenle doğru cevap $2b$'dir.

$|x - c| < r$ eşitsizliği, $c - r < x < c + r$ açık aralığını ifade eder. Verilen aralık $2 < x < 6$ için, merkez $c = \frac{2+6}{2} = 4$ ve yarıçap $r = \frac{6-2}{2} = 2$ olur. Bu nedenle, $|x - 4| < 2$ doğrudur. $|x - 4| \leq 2$ ise $2 \leq x \leq 6$ kapalı aralığını verir. Diğer seçenekler: $|x - 2| < 4$ için $-2 < x < 6$, $|x - 6| < 2$ için $4 < x < 8$, $|x| < 4$ için $-4 < x < 4$.

Denklem $| \, |x-1| - 2 \, | = a$ şeklindedir. Mutlak değer negatif olamayacağından, $a \ge 0$ olmalıdır. Denklemi çözmek için iki duruma ayıralım: $|x-1| - 2 = a$ veya $|x-1| - 2 = -a$, yani $|x-1| = 2+a$ veya $|x-1| = 2-a$.

• Eğer $a < 0$ ise, denklemin çözümü yoktur çünkü $a$ negatif olamaz. Eleman sayısı 0.
• Eğer $a = 0$ ise, $|x-1| = 2$ olur, bu da $x-1 = \pm 2$ verir: $x=3$ veya $x=-1$. Eleman sayısı 2.
• Eğer $0 < a < 2$ ise, $2-a > 0$ ve $2+a > 0$ olduğundan, her iki denklemden ikişer çözüm gelir: $|x-1| = 2+a$ için $x = 1 \pm (2+a)$, $|x-1| = 2-a$ için $x = 1 \pm (2-a)$. Toplam 4 farklı çözüm olabilir (eğer tüm kökler farklıysa). Eleman sayısı 4.
• Eğer $a = 2$ ise, $|x-1| = 4$ veya $|x-1| = 0$ olur. $|x-1|=4$ için $x=5$ veya $x=-3$ (2 çözüm), $|x-1|=0$ için $x=1$ (1 çözüm). Toplam 3 farklı çözüm, eleman sayısı 3.
• Eğer $a > 2$ ise, $2-a < 0$ olduğundan $|x-1| = 2-a$ denkleminin çözümü yoktur. Sadece $|x-1| = 2+a$ denklemi vardır, bu da $x = 1 \pm (2+a)$ ile 2 çözüm verir. Eleman sayısı 2.

Doğru cevap, bu durumları kapsayan seçenektir.