PKOB (Olasılık) Soru Çözümü

Toplam 10 top olduğundan, iki top çekmenin toplam sayısı: kombinasyon ile $\binom{10}{2} = 45$.

Toplamın tek olması için, bir topun numarası tek, diğerinin çift olmalıdır (çünkü tek + çift = tek).

Tek numaralı toplar: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 tane.

Çift numaralı toplar: 2, 4, 6, 8, 10 → 5 tane.

İstenen durum sayısı: bir tek ve bir çift seçme, yani $5 \times 5 = 25$.

Olasılık: $$\frac{25}{45} = \frac{5}{9}.$$

Bu nedenle doğru cevap $\frac{5}{9}$'dur.

İki durumu değerlendirelim:

• Elif'in olduğu durumlar: Elif ve Can kesinlikle seçilir, geri kalan 6 kişiden 1 kişi seçilir: $C(6,1) = 6$.
• Elif'in olmadığı durumlar: Elif yoksa, kalan 7 kişiden 3 kişi seçilir: $C(7,3) = 35$.

Toplam seçim sayısı: $6 + 35 = 41$.

Bu soruda blok yöntemi kullanılır. "Permütasyon" ve "Kombinasyon" konuları bir blok olarak düşünülür ve bu blok ile diğer 5 konudan (toplam 6 eleman) 4 konu seçilmelidir, ancak blok içindeki 2 konu kendi arasında yer değiştirebilir.

• Önce blok ile diğer 5 konudan kaç farklı 4'lü seçilebilir? Blok bir eleman sayıldığında toplam 6 eleman vardır: $$ \text{Seçim sayısı} = C(6,4) = 15 $$
• Seçilen 4 eleman (blok + diğer 3 konu) kendi içinde sıralanır: $$ \text{Sıralama sayısı} = 4! = 24 $$
• Blok içindeki 2 konu kendi arasında 2! = 2 farklı şekilde sıralanır.
• Toplam program sayısı: $$15 \times 24 \times 2 = 720$$ olur, ancak bu tüm sıralamaları verir. Soruda 4 konu seçilip program oluşturulduğu için, seçim ve sıralama birlikte düşünülmelidir. Doğru yaklaşım: Blok bir eleman kabul edilir, diğer 5 konu arasından 2 konu daha seçilir (çünkü blok zaten 2 konu içerir, toplam 4 konu olacak). Seçim: $C(5,2) = 10$. Seçilen 4 eleman (blok + 2 konu) sıralanır: $4! = 24$. Blok içi sıralama: $2! = 2$. Toplam: $10 \times 24 \times 2 = 480$. Ancak şıklarda bu yok, kontrol edelim: Blok sabit, 5 konudan 2'si seçilir ve 4'lü sıralanır, doğru hesaplama bu. Fakat şıkları tekrar inceleyip, doğru cevabı bulalım. Alternatif çözüm: Tüm durumlar: 7 konudan 4'ü seçilip sıralanır: $P(7,4) = 840$. Yan yana gelmeme durumu: Blok olmadan, diğer 5 konu ve 2 konu ayrı düşünülerek hesaplanır, bu daha karmaşık. En basit yöntem: Blok bir eleman, diğer 5'ten 2 seç: $C(5,2)=10$. 4 eleman sırala: $4!=24$. Blok içi sırala: $2!=2$. Toplam: $10 \times 24 \times 2 = 480$, ama şık yok. Hata: Soruda 4 konu seçilip program oluşturuluyor, yani sıralama var. Doğru hesaplama: Blok birim, toplam 6 birim (blok + 5 konu). Bu 6 birimden 4 birim seçilip sıralanacak: $P(6,4) = 360$. Ama blok içi sıralama 2! = 2, yani $360 \times 2 = 720$. Bu tüm sıralamalar, ancak blok içindeki konuların yan yana olduğu durumlar. Şıklara bakınca 120, 180, 240, 360, 720 var. 720 tüm sıralamalar olabilir, ama soruda 4 konu seçimi var. Düzeltme: Blok bir eleman, diğer 5 konudan 3 konu seçilir (toplam 4 konu olacak, blok 2 konu içerdiği için). Seçim: $C(5,3) = 10$. Seçilen 4 eleman sıralanır: $4! = 24$. Blok içi: $2! = 2$. Toplam: $10 \times 24 \times 2 = 480$, hala şık yok. Belki şıklarda hata var, ama biz doğru şıkkı bulmalıyız. En mantıklısı: 7 konu arasından 4'ü seçilip sıralanacak, blok yan yana. Toplam seçim ve sıralama: Önce blok yan yana olacak şekilde 4 konu seç: Blok + diğer 5'ten 2 konu: $C(5,2)=10$. Bu 4 konu sıralanır, blok içi 2!, ama blok yan yana olduğu için 4 elemanın sıralamasında blok tek birim, yani 4! değil, 3! (blok ve 2 konu) + blok içi 2! mi? Hayır, blok birim kabul edilirse, seçilen elemanlar: blok + 2 konu = 3 birim, bunlar sıralanır: 3! = 6. Blok içi 2! = 2. Toplam: $10 \times 6 \times 2 = 120$. Evet, bu A şıkkı. Doğru cevap 120.