Geometri: Çember ve Daire Soru Çözümü

Dairenin yarıçapı $r=10$ cm ve kirişin gördüğü merkez açı $\theta = 90^\circ = \pi/2$ radyan olsun. Katlama, daireyi bu kirişe göre yansıtır. Yansıma sonrası, orijinal daire ile yansıtılmış dairenin merkezleri arasındaki uzaklık, merkezin kirişe olan uzaklığının iki katıdır: $d = 2r \cos(\theta/2) = 2 \times 10 \times \cos45^\circ = 20 \times (\sqrt{2}/2) = 10\sqrt{2}$ cm. Kesişim bölgesinin çevresi, her biri $r\theta$ uzunluğunda olan iki çember yayından oluşur. Toplam çevre: $$P = 2 \times r \theta = 2 \times 10 \times (\pi/2) = 10\pi \, \text{cm}.$$

Koşulu kareler alarak yazalım:

$$|PA|^2 = 4|PB|^2$$

Uzaklıkları hesaplayalım:

$$x^2 + y^2 = 4\left[(x-4)^2 + y^2\right]$$

$$x^2 + y^2 = 4(x^2 - 8x + 16 + y^2)$$

$$x^2 + y^2 = 4x^2 - 32x + 64 + 4y^2$$

$$0 = 3x^2 - 32x + 64 + 3y^2$$

Her iki tarafı 3'e bölelim:

$$x^2 + y^2 - \frac{32}{3}x + \frac{64}{3} = 0$$

Tam kareye tamamlayalım:

$$\left(x^2 - \frac{32}{3}x + \frac{256}{9}\right) + y^2 - \frac{256}{9} + \frac{64}{3} = 0$$

$$\frac{64}{3} = \frac{192}{9}$$ olduğundan:

$$\left(x - \frac{16}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{256}{9} - \frac{192}{9} = \frac{64}{9}$$

Bu, merkezi $\left(\frac{16}{3}, 0\right)$ ve yarıçapı $\frac{8}{3}$ olan bir çemberdir (Apollonius çemberi).

Ortak kirişin uzunluğu $L=6$ verildiğine göre, kirişin yarısı $3$ birimdir. İlk çember $x^2 + y^2 = 25$ olduğundan, ortak kirişin bu çemberdeki yarısı için Pisagor teoremi uygulanır:

$$\left(\frac{L}{2}\right)^2 + h_1^2 = r_1^2 \rightarrow 3^2 + h_1^2 = 5^2 \rightarrow 9 + h_1^2 = 25 \rightarrow h_1^2 = 16 \rightarrow h_1 = 4$$

Burada $h_1$, $M_1$ merkezinden ortak kirişe olan dik uzaklıktır. Ortak kiriş, merkezleri birleştiren doğruya dik olduğundan ve bu doğru x-ekseni üzerinde olduğundan, ortak kiriş dikey bir doğrudur. $M_1(0,0)$ noktasından bu dikey doğruya uzaklık $h_1=4$ ise, bu doğrunun x koordinatı $x = \pm 4$ olur. Ancak, ortak kirişin orta noktası $H$, $M_1$ ve $M_2$'yi birleştiren doğru üzerinde olmalıdır (çünkü ortak kirişin orta noktası merkezlere eşit uzaklıktadır). $M_1(0,0)$ ve $M_2(8,0)$ arasındaki doğru parçası [0,8] aralığında olduğundan, $H$'nin x koordinatı bu aralıkta olmalıdır. O halde $x=4$ alınır ($x=-4$ bu aralıkta değildir).

$x=4$ için, ikinci çemberin denklemi $(x-8)^2 + y^2 = r_2^2$ olur. Ortak kiriş üzerindeki noktalarda $y = \pm 3$ (çünkü $L/2=3$) ve $x=4$'tür. Bu noktayı ikinci çemberde yerine koyalım:

$$(4-8)^2 + 3^2 = r_2^2 \rightarrow (-4)^2 + 9 = r_2^2 \rightarrow 16 + 9 = r_2^2 \rightarrow r_2^2 = 25 \rightarrow r_2 = 5$$

Diğer ihtimal $x=-4$ için $r_2 = \sqrt{153}$ çıkar, ancak bu durumda $H$'nin x koordinatı merkezler arası doğru üzerinde değildir, bu nedenle geçerli değildir. Sonuç olarak $r_2 = 5$'tir.