Türevle Maksimum-Minimum Soru Çözümü

Eğri üzerindeki nokta $(x, \frac{1}{x})$ alınır. Uzaklık karesi: $$D(x) = (x-0)^2 + \left(\frac{1}{x} - 0\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$$ Türev alınıp sıfıra eşitlenir: $$D'(x) = 2x - \frac{2}{x^3} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{2}{x^3} \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad (x>0)$$ $x=1$ için uzaklık karesi: $$D(1) = 1^2 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$$ En kısa uzaklık: $$\sqrt{D(1)} = \sqrt{2}$$

Yerel ekstremum noktaları, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalarda olabilir, ancak işaret değişimi gerekir. Bu durumda:

• $x<0$ için $h'(x) > 0$: fonksiyon artandır.
• $x>0$ için $h'(x) < 0$: fonksiyon azalandır.
• $x=0$'da $h'(x)$ tanımsız olduğu için türev yoktur, ancak fonksiyon $x=0$'da artandan azalana geçer, bu bir yerel maksimum belirtir.

Bu nedenle, $x=0$ apsisli nokta yerel maksimumdur. Doğru cevap A şıkkıdır.

Dikdörtgenin kenar uzunlukları $x$ ve $y$ metre olsun. Çevre $2(x+y) = 20 \Rightarrow x+y = 10$. Alan $A = xy = x(10-x)$. Türevini alalım: $A'(x) = 10 - 2x$. Kritik nokta için $A'(x) = 0 \Rightarrow x=5$. İkinci türev $A''(x) = -2 < 0$ olduğundan, $x=5$ noktasında maksimum vardır. $y=5$ ve $A=25$ metrekare maksimum alandır.