Trigonometri (Temel) Soru Çözümü

$\sin(\theta) + \cos(\theta)$ ifadesi, trigonometrik dönüşüm kullanılarak $\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ şeklinde yazılabilir. $\sin$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[-1,1]$ olduğundan, $\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ ifadesinin görüntü kümesi $\sqrt{2} \cdot [-1,1] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ olur.

Verilen ifadeyi sadeleştirelim:

$$\frac{\sec \theta - \cos \theta}{\csc \theta - \sin \theta} = \frac{\frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta}{\frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta}$$

$$= \frac{\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta}} = \frac{\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}}{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}}$$

$$= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} = \tan^3 \theta$$

Trigonometrik temel özdeşlikler: $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ ve $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ kullanıldı.

Sinüs teoremine göre: $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$ Formülde verilenleri yerine koyarsak: $$\frac{a}{\frac{3}{5}} = 2 \times 15 \Rightarrow a \times \frac{5}{3} = 30 \Rightarrow a = 30 \times \frac{3}{5} = 18$$ Bu yüzden doğru cevap $18$ cm'dir. Diğer şıklar, $2R$'yi yanlış hesaplama veya sinüs değerini ters çevirme gibi hatalardan kaynaklanır.